Diferite cantități geometrice și fizice pot fi exprimate ca suma elementelor infinitezimale care constituie unitatea. De exemplu, suprafața regiunii plate poate fi împărțită la suma de dreptunghiuri infinit mici, și o densitate de greutate variabilă poate fi considerată ca suma elementelor de masă, în cadrul fiecăreia dintre care densitatea este constantă.
Procedura de însumare a acestor elemente se numește integrare. In exemplul din figura zonei de fapt rezumate (integrate) înălțimi de dreptunghiuri cu aceleași baze ca și în exemplul de cântărire densitate însumate volum egal de celule.
- Integrala unității peste intervalul [a, b] este lungimea intervalului:
Integrala este independentă de simbolul utilizat pentru a desemna variabila de integrare:
Un factor constant poate fi luată în afara semnului integrală:
Integrala din suma algebrică a funcțiilor integrabile este egală cu suma algebrică a integralelor:
integrantă schimba semnul la limitele de integrare sunt interschimbate:
În cazul în care limitele inferioare și superioare ale integrării coincid una cu alta, integrala este zero:
Această proprietate este destul de evident în cazul în care (a se vedea. Figura 1).
Fig. 1. Proprietatea 6 (caz).
Cu toate acestea, rămâne valabilă în cazul în care - cu condiția ca sunt parte integrantă și:
Fig. 2. Proprietatea 6 (caz).
Dacă funcția f (x) este pozitiv definită și integrabil în intervalul, sau [a, b]
Lăsați funcția f (x) și g (x) este integrabil în intervalul [a, b] și la toate punctele din acest interval. atunci
Să presupunem că funcția f (x) este integrabil în intervalul [a, b] și îndeplinește în toate punctele acestui interval. atunci
Expresia este numita funcție de valoarea medie f (x) în intervalul [a, b]. Prin urmare, proprietatea 8 numit teorema valoarea medie.
O teoremă valoare medie pentru funcții continue. Să presupunem că funcția f (x) este continuă și este delimitată în intervalul [a, b]. Apoi, în acest interval nu este punctul de „mediu“, care
Generalizat valoare medie teorema. Lăsați funcția f (x) și g (x) este integrabil în intervalul [a, b]. Dacă funcția f (x) este continuă, atunci în acest interval este punctul „mediu“, care