Omogeni de ordin superior ecuații diferențiale cu coeficienți constanți

Liniar diferențială omogenă ecuația \ (n \) - th ordine cu coeficienți constanți este scris ca \ [<>\ Stânga (x \ dreapta) + \ dreapta) >> \ stânga (x \ dreapta) + \ cdots> +> y „\ stânga (x \ dreapta) + y \ left (x \ dreapta) = 0,> \] unde \ (,, \ ldots, \) - constante, care pot fi reale sau complexe.

Folosind operator diferențial liniar \ (L \ stânga (D \ dreapta), \), această ecuație poate fi scrisă ca \ [L \ stânga (D \ dreapta) y \ stânga (x \ dreapta) = 0, \] unde \ [L \ stânga (D \ dreapta) = +> + \ cdots +> D +. \] Pentru fiecare operator diferențial cu coeficienți constanți pot introduce polinomul caracteristic \ [L \ stânga (\ lambda \ dreapta) = +> + \ cdots +> \ lambda +. \] algebric ecuație \ [L \ stânga (\ lambda \ dreapta) = +> + \ cdots +> \ lambda + = 0 \] este ecuația caracteristică a ecuației diferențiale.

Conform teorema fundamentală a algebrei, un polinom de gradul \ (n \) are exact rădăcini \ (n \) cu multiplicități. În acest caz, rădăcinile ecuației poate fi atât reale, cât și complexe (chiar dacă toți coeficienții \ (,, \ ldots, \) valabil).

Să ne gândim mai în detaliu diferitele cazuri ale rădăcinilor ecuației caracteristice și formulele corespunzătoare pentru soluția generală a unei ecuații diferențiale.

Cazul 1. Toate rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale și distincte

Să presupunem că caracteristica ecuația \ (L \ stânga (\ lambda \ dreapta) = 0 \) are \ (n \) rădăcină \ (,, \ ldots, \). In acest caz, soluția generală a ecuației diferențiale poate fi scrisă sub forma simplă: \ [y \ left (x \ dreapta) = x + x >> >> + \ cdots + x >>, \] unde \ (,, \ ldots, \) - constante în funcție de condițiile inițiale.

Cazul 2. Rădăcinile ecuației caracteristice sunt reale și multipli

Să presupunem că caracteristica ecuația \ (L \ stânga (\ lambda \ dreapta) = 0 \) gradul \ (n \) are \ (m \) rădăcină \ (,, \ ldots ,, \) multiplicitate care, respectiv, egal cu \ (, , \ ldots ,. \), este clar că starea \ [+ + \ cdots + = n. \] Apoi, soluția generală a ecuației diferențiale omogene cu coeficienți constanți are forma \ [x >> + xx >> + \ cdots> +> > - 1 >> x >> + \ cdots> + + 1 >> x >> + + 2 >> xx >> + \ cdots> + -. 1 >> >>> x \] Noi vedem că, în formula generală soluții pentru fiecare rădăcină \ (\) multiplicitatea \ (\) se potrivește exact \ (\) membri, care sunt formate prin multiplicarea \ (x \) într-o anumită măsură, în funcție exponențială \ (x >>. \) grad \ (x \) măsurabilă nyaetsya variind de la \ (0 \) la \ (- 1, \) unde \ (\) - multiplicitate rădăcină \ (\).

Cazul 3: Rădăcinile ecuației caracteristice sunt complexe și diferite

Dacă coeficienții de ecuații diferențiale sunt numere reale, rădăcinile complexe ale ecuației caracteristice vor fi prezentate sub forma unor perechi de numere complexe conjugate: \ [> = \ alpha \ pm i \ beta, \; \;> = \ gamma \ pm i \ delta, \ ; \ Ldots \] In acest caz, soluția generală este scris ca \ [> \ stânga (\ cos \ beta x + \ păcatul \ beta x> \ dreapta)> +> \ stânga (\ cos \ delta x + \ păcat \ delta x> \ dreapta) + \ cdots> \]

Cazul 4. Rădăcinile ecuației caracteristice sunt complexe și multiple

Aici, fiecare pereche de rădăcini conjugate complexe \ (\ alpha \ pm i \ beta \) multiplicitate \ (k \) corespunde \ (2k \) deciziile particulare \ [> \ cos \ beta x,> \ păcatul \ beta x, >> x \ cos \ beta x,> x \ păcatul \ beta x, \ ldots, >>> \ cos \ beta x, >> \ păcatul \ beta x.> \] Apoi partea din soluția generală a ecuației diferențiale ce corespunde unei perechi de complex- rădăcini conjugate este construit după cum urmează: \ [> \ stânga (\ cos \ beta x + \ păcatul \ beta x> \ dreapta)> +> \ stânga (\ cos \ beta x + \ păcatul \ beta x> \ dreapta) + \ cdots> + >> \ stânga (> \ cos \ beta x +> \ păcatul \ beta x> \ dreapta).> \] In general, atunci când ecuația caracteristică are atât rădăcini reale și complexe de multiplicitate arbitrare, soluția generalăeste construită ca o sumă de soluții de tipul de mai sus \ (1-4. \)

Rezolva ecuația \ (y '' '- 7Y' '+ 11y' - 5y = 0. \)

Ecuația caracteristică corespunzătoare este: \ Este ușor de observat că una dintre rădăcinile este numărul \ (\ lambda = 1. \) Apoi, factor de eliberare a \ (\ stânga (\ dreapta [- - 7 + 11 \ lambda 5 = 0. \] ) \) \ ne [- - 6 + 6 \ lambda + 5 \ lambda - 5 = 0,> \; \; \ Stânga (\ dreapta) - 6 \ lambda \ left (\ dreapta) + 5 \ left (\ dreapta) = 0,> \; \; \ Dreapta) \ stânga (- 6 \ lambda + 5> \ dreapta) = 0,> \; \; \ Dreapta) \ stânga (\ dreapta) \ stânga (\ dreapta) = 0,> \; \; \ Dreapta) ^ 2> \ stânga (\ dreapta) = 0.> \] Astfel, ecuația are două rădăcini \ (= 1, \ = 5 \), dintre care prima are o multitudine \ (2 \) Soluția generală ecuație diferențială este scris astfel: \ [left (x \ dreapta) = \ left (+ x> \ dreapta) +>, \ y \] unde \ (\) \ (\) \ (\) - numerele arbitrare .

Rezolva ecuația \ (> - y '' '+ 2y' = 0. \)

Formăm ecuația caracteristică: \ [- + 2 \ lambda = 0. \] împrăștiată pe partea stângă a multiplicatorilor și pentru a găsi rădăcinile: \ [\ lambda \ stânga (- + 2> \ dreapta) = 0. \] Rețineți că una dintre rădăcinile (. \ lambda = -1 \) este numărul de polinomului \ cubică Prin urmare, \ (- + 2> \) la \ (\ lambda + 1: \) \ [\ frac - + 2 >>> = - 2 \ lambda + 2. \] Ca rezultat, ecuația caracteristică ia forma următoare: \ [\ lambda \ stânga (\ dreapta) \ stânga (- 2 \ lambda + 2> \ dreapta) = 0. \] Noi găsim rădăcinile ecuației pătratice: \ [- 2 \ lambda + 2 = 0,> \; \; . \; \; >> = \ frac> = 1 \ pm i> \] Astfel, ecuația caracteristică are patru rădăcini distincte, dintre care două sunt complexe: \ [<= 0,\;\; = - 1,>\ ;. \;> = 1 \ pm i> \] Soluția generală a ecuației diferențiale este reprezentat ca \ [+ >> + \ stânga (\ cos x> + \ sin x> \ dreapta),> \] unde \ (, \ ldots, \) - constante arbitrare.

Rezolva ecuația \ (+ 18y '' '+ 81y' = 0. \)

Ecuația caracteristică este scris ca \ [+ 18 + 81 \ lambda = 0. \] împrăștiată pe partea stângă a multiplicatori și calcula rădăcini: \ [+ 18 + 81> \ dreapta) = 0,> \; \; + 9> \ dreapta) ^ 2> = 0.> \] După cum este evident, rădăcinile următoarei ecuații: \ [= 0, \;> = \ pm 3i, \] și rădăcinile imaginare au multiplicitate \ (2 \) In conformitate cu regulile de mai sus scrie soluție generală în formă de \ [la stânga + \ (+ x> \ dreapta) \ cos 3x 3x> + + x> \ dreapta) \ sin> \] unde \ (\ ldots, \) - numere arbitrare.