matematică deschisă

Fie x - valoarea aproximativă este o anumită valoare (de exemplu, obținută printr-o singură măsurare a acestei valori) și x0 - valoarea curentă.

magnitudinea de eroare absolută este diferența = Ax | x - x0 |.

În 1254 elevii școlii. Atunci când rotunjire acest număr la 1200 de eroare absolută este Δ = | 1200-1254 | = 54, și rotunjirea la 1250: Δ = | 1250-1254 | = 4.

Se determină măsura de eroare absolută lungimea exactă a unui conducător milimetru.

În cazul în care divizia de linia trasată cu o precizie suficientă, eroarea sistematică în măsurarea este aproape de zero. Valoarea lungimii măsurată a obiectului poate lua valoarea L cea mai apropiată linie de tag-ul.

În acest caz, dacă experimentatorul efectuat măsurarea cu precizie, adevăratul obiect l0 lungime poate fi diferită de lungimea I măsurate nu mai mult de jumătate din diviziunea scalei, adică 0,5 mm. Se poate scrie că l0 = l ± 0,5 mm. Astfel, eroarea absolută în acest caz este de 0,5 mm.

În general, în cazul în care erorile sistematice în măsurarea oricărui dispozitiv, semnificativ mai mică decât diviziunea amploarea acestui instrument, care ca o eroare de măsurare absolută, în general, jumătate din divizia.

O eroare relativă a numărului aproximativ este raportul dintre eroarea absolută a numărului aproximativ la numărul însuși: ε (x) = Δ x x 0.

În 1254 elevii școlii. Atunci când rotunjire acest număr la 1200 de eroare absolută este Δ = | 1200-1254 | = 54, eroarea relativă este de 54 1254 ≈ 0,043, sau 4,3%. Atunci când rotunjire la 1250: Δ = | 1250-1254 | = 4, iar eroarea relativă aprilie 1254 ≈ 0,003. sau 0,3%.

În experimentele științifice, multe valori sunt determinate, nu direct, ci indirect, prin - măsurarea valorilor altor cantități. Deci, pentru a găsi densitatea corpului, oamenii de știință măsoară masa sa, cu o greutate în echilibru, după care volumul corpului prin cufundarea în lichid. Densitate ρ = m V exprimat în termeni de greutate și de volum a corpului. Greutatea și volumul, în această formulă sunt măsurate cu o eroare; Aceasta înseamnă că densitatea este calculată din formula cu o eroare.

Deducem anumite reguli, care să permită să se calculeze valorile de eroare.

Suma eroare absolută a două variabile independente egale cu suma erorilor absolute ale termenilor individuali: Δ (x + y) = + Dy Ax.

De notat că în unele măsurători se poate întâmpla ca erorile din valorile măsurate ale lui x și y vor compensa reciproc, iar valoarea lui x + y este măsurat cu acuratețe. Cu toate acestea, în alte cazuri, aceste erori vor consolida reciproc; în evaluarea erorilor de măsurare este cea mai rea dintre opțiunile trebuie avute în vedere.

În mod similar, putem arăta că același lucru este valabil și pentru diferența dintre cele două erori.

Eroarea absolută a diferenței dintre două variabile independente egale cu suma erorilor absolute Descăzut și descăzut: Δ (x - y) = + Dy Ax.

Se calculează suma și diferența dintre numerele aproximative 0,123 și 0,526.

Adăugarea dă 0.649. Eroarea absolută a fiecărui termen este egal cu 0,0005, deci absolut suma erorii 2 ċ 0,0005 = 0,001. Prin urmare, cantitatea găsită într-o posibilă eroare de 1 unitate în a treia zecimală. Scăzând aceste numere ofera: 0.123-0.526 = -0.403. Eroarea absolută a diferenței este de asemenea egală cu 0,001.

Eroarea relativă nu poate fi pus în adunare și scădere. Să considerăm un exemplu instructiv.

Măsurători în interiorul tubului cilindric gol la interior arătat că raza exterioară a acestuia este de 100 cm și o rază interioară -. 95 cm Care este grosimea peretelui țevii?

Dacă R1 = 100 cm, R2 = 98 cm, h = 2 cm. Raza absolută a incertitudinii în determinarea aceeași și egală cu Δ (R1) = Δ (R2) = 0,5 cm (în cazul în care nu au clarificat în problema, eroarea absolută măsurare se ia egală cu jumătate din ultima magnitudine semn). Eroarea absolută în calculul grosimii peretelui este definită prin Δ (h) = Δ (R1) + Δ (R2) = 1 cm.

Să se calculeze acum eroarea relativă a celor trei valori: gruparea e (R1) = 0,5 100 = 0.005, ε (R2) = 0,5 95 ≈ 0,0053, ε (h) = Δ (h) h = 1 2 = 0,5 »ε (R 1). Dacă ambele raze sunt măsurate cu o eroare de 0,5%, eroarea în calculul diferenței lor - grosimea peretelui țevii - a crescut de 100 de ori și a fost de 50%!

Eroarea relativă este aproximativ egală cu cantitatea de produs erori relative ale factorilor individuali: ε (x y) ≈ ε (x) + ε (y).

Ultimul termen poate fi neglijată, deoarece Δ ​​Δ y Xc «y 0 și Δ x Δ Δ y Xc« x 0 Δ y. atunci

ε (x y) = y 0 Δ x + x 0 Δ y x 0 y 0 = Δ x x Δ y 0 + y 0 = ε (x) + ε (y).

Puteți extinde această regulă, după ce acesta a pictat pentru produsul de n factori.

Eroarea relativă de gradul n-lea numerele aproximative despre | n | ori eroarea relativă a numărului inițial: ε (x n) ≈ | n | ċ ε (x).

Calculele arată că această relație este valabil nu numai pentru naturale, dar, de asemenea, pentru orice grad n reală.

În particular, ε (x y) ≈ ε (x) + ε (y).

Se calculează eroarea relativă de 0,123 și 0,526 produsului dacă erorile relative ale acestor numere sunt, respectiv, 2% și 4%.

Eroarea relativă funcționează 0123 ċ 0526 = 0,064698 aproximativ egal cu 4% + 2% = 6%.