Dimensiunea spațiului vectorial

Dimensiunea spațiului vectorial.

Una dintre cele mai importante Invariantele unui spațiu vectorial este dimensiunea sa.

Determinare. Dimensiunea spațiului vectorial nenul finit-dimensional este numărul de vectori ai unei baze de spațiu. Dimensiunea zero, spațiul vectorial este considerat egal cu zero. Dimensiunea spațiului vectorial este notat cu

Exemplu. Lasati - spatiul vectorial aritmetic peste vectorii de câmp formează o bază a spațiului. Prin urmare, considerăm că unele proprietăți ale dimensiunii.

PROPRIETATE 3.1. Dacă - spațiu vectorial dimensional și apoi pentru orice sistem de spațiu k al vectorilor este dependentă liniar.

Dovada. În cazul în care - spațiul zero, iar proprietatea este 3.1 rulează.

În cazul în care, pe baza spațiului format din vectori. Prin Corolar 3.3, rezultă că, atunci când orice sistem de spațiu k al vectorilor este dependentă liniar.

Corolarul 3.9. Dacă vectorii spațiu de sistem sunt liniar independente,

PROPRIETATE 3.2. În cazul în care - un subspațiu al unui spațiu vectorial finit-dimensional,

Dovada. Inegalitatea (1) este în mod evident adevărat, dacă există un spațiu nul. Dacă subspațiul este nenul, atunci (teorema 3.5) este finit și (Teorema 3.1) are o bază. Să - baza spațiului. Apoi, în spațiul unui sistem de vectori este liniar independent. Prin urmare, ancheta

PROPRIETATE 3.3. În cazul în care - un subspațiu al unui spațiu vectorial finit-dimensional și apoi

Dovada. Dacă subspațiul este zero, atunci cu condiția este, prin urmare - ca spațiu vectorial zero. Prin urmare,

Să presupunem că - un subspațiu nenul. Apoi, este, precum și, finit și, prin Teorema 3.1, are o bază. Să - baza sa. Apoi, prin ipoteză, prin urmare, de asemenea, baza spațiului sistemului. Prin urmare,

PROPRIETATE 3.4. Dacă spațiul vectorial finit dimensional este suma directă a subspaiilor, atunci

Dovada. Prin ipoteză, și, prin urmare,

În cazul în care, fie - zero, subspațiu, atunci ecuația (1) este în mod evident adevărat.

Să presupunem că - subspațiu non-zero. lăsa

- baze ale spațiilor U și respectiv X.

Vom demonstra că sistemul

Este o bază având în vedere (2)

Sistemul (6) este liniar independent. Într-adevăr, pentru oricare din ecuație scalară

Prin (7), egalitati

precum și un sistem (4) și (5) sunt liniar independente, rezultă din (8), care mai departe, prin (3)

t. e. sistem (6) generează spațiul, astfel, a demonstrat că sistemul (6) reprezintă baza spațiului în consecință,

Teorema 3.10. Dacă un spațiu vectorial este suma subspatiu finit-dimensional, atunci

Dovada. Să presupunem că

În cazul în care cantitatea de (2) drept; Prin urmare, de proprietate 3.4 teoremă deține.

Să presupunem că atunci spațiul, precum și U, este finită. lăsa

- bază pentru spațiul. Extinde-l la bazele spațiilor. lăsa

- o bază de U și