curbe Bezier (elementar)
Curbele Bezier teoria dezvoltată de P. de Castelo în 1959 și, independent de el, și P. Bezier în 1962. În general, curba Bezier - este un caz special de B-spline (NURBS-curba), care poate fi definită ca o sumă ponderată a punctelor n + 1 de control, în cazul în care greutățile sunt polinoamele Bernstein.
Să considerăm determinarea primelor trei grade de curba Bezier.
curbă liniară, curba primului grad (linie dreaptă), parametrul următor se determină prin formula:
Această expresie reprezintă o interpolare liniară între cele două puncte.
Curba pătratic, o curbă de gradul doi, definit prin formula:
Curbele pătratică Bezier sunt utilizate, de exemplu, în caractere de fonturi TrueType în determinarea conturului.
Orarul folosit o curba cubică, curba de gradul al treilea, care este definit prin formula:
Patru puncte de referință P0. P1. P2 și P3. dată în 2 sau 3 spațiu tridimensional definesc forma curbei.
Linia provine de la un punct P0 și P1 către capete, la un punct P3 care vine să-l de la P2. Aceasta este, curba nu trece prin punctele P1 și P2. acestea sunt utilizate pentru a indica direcția sa. lungimea intervalului dintre P0 și P1 determină cât de repede curba se va întoarce la P3.
În coordonate carteziene, aceasta înseamnă:
X (t) = (1 - t) 3x0 + 3 (1 - t) 2tX1 + 3 (1 - t) t2x2 + t3x3
Pentru construcția directă a curbei este dată o anumită valoare a parametrului t variază de la 0 la 1 și substitut în formulă. Obținem coordonatele x și y de un punct de pe curba. Apoi, setați următoarele valori ale parametrului t, și de a obține coordonatele x și y ale următorului punct de pe curba. Și așa mai departe.
In forma de matrice, curba Bezier cubică este scris după cum urmează:
,
care se numește Béziers matrice bazale:
.
Construcția de curbe Bezier
Parametrul t în funcție care descrie cazul liniar al curbei Bezier, definește exact distanța de la P0 la P1 este B (t). De exemplu, atunci când t = 0,25 valoarea funcției B (t) corespunde unui sfert din distanța dintre punctele P0 și P1. Parametrul t variază de la 0 la 1, și B (t) descrie segmentul de linie între punctele P0 și P1.
Pentru a construi o pătratice curbe Bezier necesită o selecție a două puncte intermediare Q0 și Q1 din condiția ca parametrul t variază de la 0 la 1:
Q0 variază de la punctul P0 la P1 și descrie curba Bezier liniară. Q0 = (1 - t) P0 + t P1
Modificări Q1 de la punctul P1 la P2 și de asemenea descrie curba Bezier liniară. Q1 = (1 - t) P1 + P2 t
Punctul B se schimbă de la Q0 la Q1 și descrie curba Bezier pătratică. B (t) = (1 - t) Q0 + t Q1
Construirea unei curbe Bezier pătratică
puncte intermediare Q0 pentru a construi o curbă de cub. Q1 și Q2. descrie curbele liniare și punctul R0 și R1. Curbele pătratice care descriu: o ecuație simplă p0q0 / p0q1 = q1p1 / P1P2 = bq0 / q1q0
Construcția curbei Bezier cubică