teoria scurtă

Capitolul 12: Ecuatii diferentiale

12.1. concepte de bază

O ecuație diferențială este o ecuație care se referă variabila x independentă. necunoscute funcție y = f (x) și derivații săi de diferite ordine.

Ecuația diferențială este ordinea de cea mai mare derivata, o parte a acestei ecuații.

Ecuația diferențială de ordinul n-lea, în forma generală fi scrisă ca:

ecuație diferențială este orice funcție y = # 966; (X),

convertește această ecuație este o identitate.

Soluție F (x, y) = 0. predeterminată numită implicit ecuația integrală.

soluțiile Programarea ecuației diferențiale se numește curba integrală.

Soluția generală a ecuației diferențiale de n - lea ordin este o funcție

în funcție de x și n constante arbitrare independente C1, C2. Cn, adresez această ecuație într-o identitate.

Soluția generală dată implicit

Se numește integrala generală.

O soluție particulară a ecuației diferențiale este soluția, care se obține din totalul dacă pentru a da anumite valori constante arbitrare, adică, Tipul de decizie:

integrant special este integrala obținută prin general

fixare constante arbitrare:

Ecuația diferențială a primului ordin.

Forma generală a ecuației diferențiale de ordinul I:

Dacă această ecuație este rezolvabilă în raport cu y“.

Această ecuație poate fi scrisă ca:

Soluția generală a ecuației (12.1) este o funcție

x și o constantă arbitrară C. convertește această ecuație este o identitate.

Soluția generală dată implicit

Se numește integrala generală.

Geometric soluție generală (și totală integrală) este o familie de curbe integrale în plan, în funcție de un parametru C.

O soluție particulară a ecuației (12.1) este soluția obținută din soluția generală (12.4) la valoarea fixă ​​C:

unde C 0 - număr fix.

integrală particulară a ecuației (1) este integrala derivată din soluția generală (5), la o valoare fixă ​​C:

problema Cauchy. Găsiți soluția y = f (x) din ecuația (1) care îndeplinește condițiile inițiale specificate: y = y 0 x = 0.

Cu alte cuvinte, pentru a găsi curba integrală a ecuației (1), care trece printr-un anumit punct M0 (x0, y0).

ecuații diferențiale cu variabile separabile.

Ecuații diferențiale cu variabile separabile se numește ecuația formei

unde X (x). X1 (x) - numai o funcție de x; Y (y), Y1 (y) - o funcție numai de y.

Ecuația (12.8), prin împărțirea produsului Y (y) X1 (x) este redus la o ecuatie cu variabile separate:

Integrala totală a ecuației (12.9)

Notă. Când împărțirea de produsul Y (y) X1 (x) poate pierde acele soluții ale ecuației (12,8), care atrag acest produs este zero.

substituție directă este ușor de văzut că funcția x = a. unde a este o rădăcină a ecuației X1 (x) = 0; X1 (a) = 0. o soluție de (12,8). Funcția y = b. unde b rădăcina Y1 ecuației (y) = 0. adică Y1 (b) = 0, și o soluție de (12,8). Soluții x = a și x = b, dacă sunt prezente, sunt linii drepte, respectiv geometrically paralele cu Ox și Oy axă.

1. Integrarea ecuației diferențiale

(1 + x 2) dy - 2xy dx = 0.

Găsiți o anumită soluție care satisface: y = 1 x = 0.

Această ecuație este o ecuație cu variabile separabile (coeficientul de dy - funcție de x numai când dx -. Produsul funcțiilor, una dintre care depinde numai de x alta -. Y numai). Impartind ambele părți prin produsul y (1 + x 2), obținem ecuația cu variabile separate

Integrarea acestei ecuații, găsim

ln | y | - ln (1 + x 2) = ln | C | sau

din care se obține soluția generală: y = C (1 + x 2).

Pentru a găsi soluția parțială dorită, este suficientă pentru a determina valoarea C din condițiile inițiale: 1 = C (1 + 0), C = 1.

Prin urmare, soluția particular are forma

Notă. Împărțite y (1 + x 2), sa presupus că y (1 + x 2) ≠ 0. adică y ≠ 0, 1 + x 2 ≠ 0. Dar y = 0 - o soluție, așa cum poate fi verificat direct. Această soluție este obținută de la general când C = 0.

2. Găsiți integralei generală a ecuației diferențiale

(Xy 2 + x) dx + (y - x 2 y) dy = 0.

Introducerea factorilor relevanți ale consolelor, ecuația poate fi

scrise ca: x (y 2 +1) dx + y (1 - x 2) dy = 0,

care arată că această ecuație cu mai multe variabile. Impartind ambele părți ale acestei ecuații de produs (y + 1 2) (1 - x 2) ≠ 0. obține

Integrarea acestei ecuații, găsim

- ln | 1 x 2 | + Ln | 1 + y 2 | = Ln | C | sau

care dă totală integral: 1 + y 2 = C (1 - x 2).

Integrați ecuația diferențială pentru a găsi aceste soluții specifice și să le construiască: