Studiul sistemelor de ecuații liniare

Având în vedere un sistem de ecuații-m liniar în n -Anonim

numita matrice și matricea extinsă a sistemului.

Kronecker - Capelli. Pentru compatibilitatea unui sistem este necesar și suficient ca rangul sistemului cu matrice a fost egal cu rangul de matricea lui augmented, adică .

sistem omogen de ecuații este întotdeauna consecvent.

Dacă rangul sistem comun r este egal cu numărul de necunoscute, adică, . sistemul este definit. În cazul în care sistemul comun de rang este mai mic decât numărul de necunoscute, incertitudinea sistemului.

Exemplul 6. Investigarea sistemului de ecuații:

Decizie. Să considerăm sistemul de scădere matrice augmented al doilea rând și elementele rând 1st divide obținut în 4, obținem.

Scădeți din al treilea rând și mai întâi se împarte la 2 va avea.

Scãdere, din elementele treilea rând elemente din al doilea rând corespunzătoare,

atunci vom șterge al treilea rând primi.

Rangul matricei este. matrice Rank augmented este de asemenea egală cu 2. În consecință, prin sistem compatibil Teorema Kronecker-Capelli. Ia ecuația

Pentru în mare parte necunoscute și să accepte. Acest lucru se poate face, deoarece determinantul coeficienților acestor necunoscute este non-zero, :. servele anonime gratuite.

Poate fi rescrisă ca un sistem:

Și ne exprimăm prin. .

Prin urmare, soluția generală a sistemului :.

Solutia de sistem de ecuații liniare de Gauss.

Având în vedere un sistem de ecuații-m liniar în n -Anonim

Soluția sistemului de ecuații liniare prin Gauss este eliminarea secvențială a necunoscute și aducerea sistemului de ecuații de forma eșalon utilizând transformări elementare.

Aproape mai ușor să conducă la un pas nu a însemnat sistemul de ecuații și matricea dannoysistemy augmented.

Să considerăm dannoysistemy matrice augmented

Această matrice poate fi redusă la eșalonul de formă folosind următoarele transformări elementare.

Procesul de constatare a sistemului de coeficienți de nivel numit un curs direct, iar procesul de găsire a cursei de retur necunoscut.

Exemplul 7. Rezolva acest sistem de Gauss

Decizie. Scriem matricea Augmented corespunzătoare.

Introducem 5, coloana de control așa-numitele:

Coloana de control, din care fiecare element este suma elementelor rândului corespunzător, introduceți pentru a verifica transformare. Când matricea de transformare liniară la aceleași elemente trebuie să fie supuse elementelor de control al coloanei de transformare, fiecare element de control al coloanei este egală cu suma tuturor celorlalte elemente ale rândului corespunzător al matricei transformate. Trecerea de la o matrice la alta se scrie cu ajutorul semn de echivalență.

Aceasta se numește un curs direct. Apoi, folosind invers, obținem:

4 0 Proprietăți operații liniare:

Vector -. Se numește vectorul invers. Egalități dețin:

5 0 vector pe axa de proiecție. Presupunem că spațiul dat un sistem de coordonate carteziene. Să considerăm un vector arbitrar. Lăsați vectorul face un unghi cu axa Ox. Apoi, proiecția vectorului pe axa definită prin formula:

Proiecția suma vectorială a osiei, este suma proiecțiilor acestor vectori pe axa:

Example1. În planul dat punctul A (0, -2), B (4,2), G (4, -2). La originea forței aplicate. . Construiește rezultanta lor. găsi proiecțiile sale pe axele de coordonate, și lungimea sa. Arată puterea ta. . . . prin versorii.