sistem vector de transformare elementar „Linear Algebra

Revendicarea 3. sistem vector de transformare elementar.

Definiția. Următoarele transformări ale vectorilor sunt numite elementare:

1) orice permutare a vectorilor;

2) multiplicarea vectorului oricărui sistem la un scalar nenul;

3) adăugarea oricărui sistem vector de orice combinație liniară de vectori ai oricărui alt sistem;

4) îndepărtarea vectorului de zero din sistem.

Teorema. transformări elementare ale vectorilor nu schimbă rangul său.

1) Fie un sistem de vectori și - său maximal liniar subsistem independent, adică, bază interval liniar. Să - orice permutare a vectorilor și a sistemelor - maximă arbitrară liniar subsistem independent. Dar acest subsistem va subsistem al sistemului, și anume, Acesta va fi, de asemenea, baza carenei liniare. Rezultă că, QED

2) Având în vedere un sistem de vectori. Multiply, pentru vectorul cu un scalar și a obține un sistem. Este ușor de văzut că

din care rezultă că.

Pe de altă parte, să presupunem. apoi,

, ceea ce implică faptul că

Această egalitate implică faptul că egală cu dimensiunea lor

Aplicând teorema pe locul sistemului vectorial, constatăm că, QED

3) Având în vedere un sistem de vectori. Pentru definiteness, să ne adăugați la primul sistem de vector o combinație arbitrară liniară a altor vectori ai acestui sistem și vom obține un nou sistem de vectori:

. La fel ca în paragraful precedent, dovada este ușor de a arăta că