Secundar identificator 1

algebra liniara BAZELE

metodice pentru a efectua lucrări independente pentru studenții de la toate disciplinele

Liniile directoare sunt destinate pentru auto-studiu a studenților algebra liniară de la toate disciplinele. definiții de bază și teoreme ale teoriei matricelor și a factorilor determinanți. O tehnică pentru sisteme de ecuații liniare de rezolvare Gauss.

Bibliografie. 4 titluri.

Identificatorul secundar.

Conceptul de determinant a apărut în legătură cu problema de a găsi formule pentru valorile necunoscute într-un sistem de ecuații liniare.

Să considerăm un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute:

Tabelul de tipul numit un coeficienți de matrice de sistem.

Noi rezolva sistemul de eliminare. Pentru a găsi necunoscut. se înmulțește prima ecuație de. iar al doilea - pe ambele și se adaugă ecuații. obținem

În mod similar, înmulțirea prima ecuație cu. al doilea - pe și adăugarea celor două ecuații, vom găsi

Coeficientul de se numește determinantul de ordine 2 și este notat

Determinanții al treilea ordin.

Să considerăm un sistem de trei ecuații liniare cu trei nu-bine-cunoscut:

Sistemul Matrix este după cum urmează :. Rezolvarea sistemului prin eliminarea necunoscute, obținem:

în cazul în care - unele numere.

Determinant comanda treia se numește coeficientul de necunoscut și notat.

Calculați determinant al treilea ordin de regula Sarryusa:

Valori - elemente determinante (matrice). Determinantul distinge rânduri, coloane, diagonala principală din colțul din stânga sus și o parte diagonală, din colțul din dreapta sus. Primul element al indicelui indică numărul rândului, iar al doilea - numărul coloanei.

Informații despre 3.Elementarnye permutări.

Luați în considerare n numere întregi (componente) 1, 2. p. Acestea pot fi aranjate într-o ordine diferită.

Definiție 3.1: diferite locații ale numerelor 1, 2, ..., n sunt numite permutări. PERMUT-Novki, în care numerele sunt în ordinea vârstei-TION, se numește naturală.

Exemplul 3.1. Pentru n = 3 posibile permutare (1 2 3), (1 2 3) (2 1 3) (2 3I), (3 1 2), (3, 2 1). Numărul lor este egal cu 3! = 6.

Definiție 3.2: factorial n este produsul primelor n numere naturale.

Este considerat a fi 0! = 1.

Metoda poate fi utilizată pentru a dovedi că inducerea n elemente pot forma n! Wok permutational.

Definiția 3.3: Să tulburare de apel (iliinversiey) în permutarea faptului că un număr tot mai mare de standuri mai mici în față. De exemplu, în permutarea (3 1 2 4) are două dezordine; numărul 3 stă în fața numerelor 1 și 2.

Definim numărul de inversiuni în permutările trei elemente-mente: permutarea (1 2 3) - 0 perturbații (I 3 Feb.) - 1 (2 1 3) - 1 (2 3 1) - 2, (3 1 2 ) - 2, (3, 2 1) - 3.

Numărul de inversiuni din permutarea poate fi chiar sau impar. Permutările cu un număr par de tulburare numită chiar, permutări cu un număr impar de tulburări sunt numite ciudat. Astfel, permutarea (1 2 3) și (2 3 1), (3 1 2) chiar și permutarea (1 3 2),
(2 1 3) (3 2 1) non-chiar.

Pompare cele două elemente într-o permutare se numește transpunere. Transpunerea transformă o permutare la alta. O permutare de transpunere menyaetchetnost-Novki, t. E. Chiar și permutări devine ciudat și ciudat evaluate chiar.

Pentru a schimba numărul de revolte reprezintă. în care -Una din numerele 1, 2, ..., n; . în cazul în care.

Acum, rețineți modele în calculul determinant al treilea ordin.

1. Numărul de termeni este 6 = 3. care este egal cu numărul de permutări de 3 elemente.

2. Fiecare termen este produsul 3 elemente. în care prima permutarea indicilor elementelor - permutare natural (1,2,3) și indexurile secunde () - o permutare a numerelor întregi 1,2,3; astfel încât elementele din diferite rânduri și coloane.

3. În cazul în care este permutarea chiar, atunci termenul este luat din semnul „+“, și, dacă este ciudat, atunci semnul „-“.

Pentru a obține al doilea factor determinant comanda:

Determinanți de ordinul n-lea.

Evident, pentru un sistem de n ecuații liniare n necunoscute obținem o dimensiune matrice de factori:

Noi introducem conceptul de un factor determinant de ordinul n.

Determinantul de ordinul n este un număr egal cu

-suma n. termeni;

-fiecare termen este produs n elementelor matricei, luate câte unul din fiecare rând și fiecare coloană;

-fiecare termen este luat cu semnul „+“ dacă permutarea al doilea indice este chiar și cu semnul „-“ în cazul în care permutare a doua indicii impare, cu condiția ca primele coduri formează o serie de numere naturale.

aici å preluat toate permutarile posibile. compusă din numerele 1,2, ..., n.

5. Proprietăți determinanți de bază.

Stabilim proprietățile de bază ale factorilor determinanți, care, pentru simplitate vom arăta pe determinantul de ordine 2.

1. La înlocuirea rândurilor coloanele corespunzătoare (denumit transpunerea-TION) determinant rămâne neschimbat. într-adevăr:

În consecință ,. QED.

Notă. Rezultatul de mai sus ne dă să afirmăm că rândurile și coloanele determinantului, denumit în continuare rândurile lui Sem egal.

2. Atunci când se deplasează cele două rânduri ale semnului schimbări determinante.

Într-adevăr, schimba linia, în unele locuri și se calculează determinantul

QED.

3. Dacă Determinantul două rânduri paralele sunt identice, este egal cu zero. Într-adevăr, prin schimbul două din aceeași linie. Apoi, valoarea determinantului nu se schimbă, și semnul de proprietate 2. schimbarea. Singurul număr care nu se schimbă atunci când semnul - zero.

4. Factorul comun al oricărui număr de membri pot fi luate ca un semn al determinantului.

QED.

5. Dacă toate elementele orice rând sunt sumele de același număr de termeni, determinant este egal cu suma determinanților în care elementele seriei sunt termenii individuali.

QED.

6. Determinantul nu se modifică în cazul în care elementele orice rând pentru a adăuga elementele corespunzătoare în rânduri paralele, înmulțită cu numărul de nu-este.

Înmulțim doilea rând pe, și adăugați-l la prima linie:

Într-adevăr, având în vedere proprietățile 3,4,5

QED.

6. Minorii și cofactori de redelitelya op elementelor.

Luați în considerare n-lea ordin determinant:

Aloca în determinant al i-lea rând și j th coloană. La intersecția acestor rânduri ar trebui să element de

Dacă putem exclude determinantului -yustroku i și j -ystolbets, obținem determinant pentru n -1 (m. E. Avand un ordin mai mic cu unul față de determinant original) numit Mino-set determinant celulă. Vom nota simbolul elementului Mino-p.

Definiția 6.1. Cofactor al elementului-ment numit determinant minor. luate cu semnul. și notată cu simbolul. Prin definiție, obținem

Exemplul 6.1. Găsiți minor și cofactor un factor determinant

1. Determinanți de ordinul al doilea ............................................................. ... .. ...... 3

2. Detectoarele treilea ordin ........................................................................ 3

Informații despre 3.Elementarnye permutări ............................................................. 5

4.Opredeliteli n-lea ordin .......................................................... ............... 6

5. Proprietăți determinanții de bază ..................................................................... 7

6. Minorii și cofactori de redelitelya op elementelor ............................ 8

7. Extinderea determinanților pe elementele sale rânduri ..................................... ...... 9

8. matrici înțelegere. Definiții de bază ..................... .. ............... ..12

10. operații aritmetice matrici ................................. .. ... .. ............ 15

11. Multiplicarea matrice ................................................ proprietăți. ............. 16

12 și calculul matricei inverse ei folosind Uniunea matrice .......... ......... .18

13.Cistemy ecuații liniare ................................................................... ... 20

14.Matrichnaya sistem de ecuații de înregistrare .............................................. ...... .. ....... 21

15. Sistemele cu matrice nesingular pătrat. Formula Cramer ...................... 22

16. Sistemul de ecuații în forma de bază ..................... .. ......................... ......... 24

soluții 18.Nahozhdenie sub formă de bază .............................................. ... .. ... ..32

19. Calculul matricei inverse a schemei Gauss ............................... ................ ... .33

20.Ponyatie un spațiu aritmetic n-dimensional și vectorul dimensional ....................................................................................................... ... 35

21. liniare vectori de transformare. Și vectorii proprii valorilor proprii ......................................................................................................... .37

Lidiya Evseevna Morozova

Olga Valentinovna Soloveva

algebra liniara BAZELE

metodice pentru a efectua lucrări independente pentru studenții de la toate disciplinele

Bibliografie. 4 titluri.

Identificatorul secundar.

Conceptul de determinant a apărut în legătură cu problema de a găsi formule pentru valorile necunoscute într-un sistem de ecuații liniare.

Să considerăm un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute:

Tabelul de tipul numit un coeficienți de matrice de sistem.

Noi rezolva sistemul de eliminare. Pentru a găsi necunoscut. se înmulțește prima ecuație de. iar al doilea - pe ambele și se adaugă ecuații. obținem

În mod similar, înmulțirea prima ecuație cu. al doilea - pe și adăugarea celor două ecuații, vom găsi

Coeficientul de se numește determinantul de ordine 2 și este notat