sarcina 206

206. Sarcina difuziei într-un câmp de forțe centrale

Particle descris de un Dirac val avion cu helicitate pozitiv este disipată pe un potențial spherically simetrică. Pentru a obține o formulă pentru comportamentul asimptotic al undei împrăștiate, presupunând că faza de împrăștiere poate fi luată din deciziile ecuațiile undelor radiale.

Decizie. După cum se arată în sarcină 201, există două tipuri de ecuații radiale.

Este ușor de observat că potențialul de scădere soluție mai rapidă a acestui sistem de ecuații se comporte asimptotic în conformitate cu formulele

Defazajul relativă este o funcție a amplitudinii, la o normalizare arbitrară dată sunt interconectate astfel încât, în limita non-relativistic când funcțiile sunt porțiuni radiale, respectiv majore și minore val component Spinor. Dacă este selectată funcția, real, funcția este pur imaginar. Faza schimbare a, definit prin integrarea ecuațiilor (206.1a), în condițiile limită. În limita non-relativistă, astfel încât să puteți scrie pe distanțe lungi

Comportamentul asimptotic al soluțiilor acestui sistem este determinat prin formule

în care faza de împrăștiere diferă în general de la faza de imprastiere Deoarece sistemul de ecuații (206.16), se obține din ecuațiile (206.1a) prin modificarea parametrului prin parametrul în funcția limita non-relativistic devine mare parte a componentei radiale a Spinor val, iar funcția este partea radială a scăzut sale componente. Astfel, în limita non-relativiste avem sledo-. quently,

Așa cum am văzut în sarcină 201, pentru fiecare valoare a numărului cuantic are două val Spinor și descriind o stare în care proiecția impulsului totale pe axa z este semnificativ (în ceea ce privește comportamentul lor asimptotică este de forma

Soluția generală poate fi scrisă întotdeauna sub forma superpoziția soluții particulare ale celor de mai sus:

Aici, indicele de însumare poate fi înlocuit în așa fel încât toate sumele prezentate doar armonicele sferice de ordinul 1. Ca rezultat, comportamentul asimptotic al expresiei (206,5) poate fi scrisă ca

În structura sa, ultima expresie este foarte similar cu un val de avion (205.11), în care trece, în cazul în care toate valorile în acest context, este recomandabil să se scrie val avion sub formă de

După cum se știe, condiția la limită pentru problema de împrăștiere este că, atunci când diferența

cuprinde o valuri sferice divergente nu conține undă sferice proporționale și convergente. Numai în acest caz, funcția poate fi identificat cu val împrăștiate. Având în vedere formula (206.6) menționat condiția la limită, conduce la următoarele patru ecuații pentru a determina

Aceste ecuații sunt îndeplinite dacă și numai dacă

Folosind ultimele relații se poate demonstra cu ușurință că comportamentul asimptotic al undei dispersate este descrisă de formula

Sarcina 207. Smooth potențial pas

Pe potențial pas, descris de formula

din z negativ cade plat val Dirac

helicitate pozitiv determina coeficientul de transmisie pentru diferite înălțimi potențial pas:

Trăsăturile caracteristice ale cazurilor ilustrate în fig. 72.

Decizie. Potențialul reprezentat de formula (207.1), în cazul în care se schimbă de la valori la valorile de la valorile specificate ale variației potențiale se produce de fapt, în apropierea punctului în potențialul de grosimea stratului Privite reprezintă un caz particular de 197 probleme potențiale.

FIG. 72. etape potențiale de diferite înălțimi. Zonele valorilor de energie de particule admisibile sunt umbrite.

Pentru o componentele helicitate pozitive ale funcției de undă dispar, iar problema se reduce la rezolvarea unui sistem de două ecuații diferențiale:

În schimb componente introducă combinația lor simetrică și antisimetrică:

Pentru funcții în loc de (207,3) este obținut printr-un sistem simplu de ecuații

din care este ușor de a elimina una dintre ele, de exemplu, avem

Rezolvarea acestei ecuații cu condiții la limită corespunzătoare, vom folosi atunci doua ecuație (207,6), vom găsi o funcție

Dacă în loc de z pentru a trece la o nouă variabilă independentă

atunci coeficienții ecuației diferențiale (207,7) va fi funcții raționale ale lui x. Având în vedere raportul

și introducerea de parametri adimensionali

(Cantitatea joacă rolul energiei în unitatea noastră), puteți da ecuația (207,7), în forma următoare:

Ultima ecuație după o schimbare evidentă

a redus la ecuația pentru funcția hipergeometrica

În viitor, avem nevoie, după cum vom vedea acum, singura soluție, un obișnuit Această soluție are forma

Luați în considerare condițiile la limită. În conformitate cu relația (207,8), avem

Mai mult, în conformitate cu ecuațiile (207.10) și (207.13)

prin urmare, amploarea este întotdeauna un parametru pur imaginar proporțională cu impulsul particulei incidente în vecinătatea funcției hipergeometrica (207.15), poate fi transformat prin formula

Astfel, de la (207,8) și (207.15) au la

Având în vedere că în continuare

Expresia pentru amplitudinea A este diferită de expresia amplitudinii numai semnul valorii Așa cum s-ar putea fi de așteptat, pe baza unor considerente fizice, funcția pentru valori negative mari ale z este o suprapunere a unui val de incident cu amplitudine A și unda reflectată

cu amplitudinea B. Astfel, o anumită soluție (207.16) satisface condițiile limită la valori mari negative ale z. De asemenea, este alcătuită dintr-o suprapunere a două tipuri de valuri. Puteți verifica acest lucru prin înlocuirea soluției asimptotică (207.17) în ecuația (207,6). Această substituire dă

Electrică de curent de densitate [cm. Sarcina 198, raportul (198.13)] dacă renunțăm la elementul interferență constă din două părți. De fapt,

în care densitatea de curent de incident și reflectat particule respectiv

și energia și impulsul particulelor sunt legate de

Ne întoarcem acum la o discuție a comportamentului funcției de undă în etapa potențială din partea dreaptă, adică. E. în apropierea punctului sau, cu alte cuvinte, în cazul în care formulele (207.12) și (207.15) urmează imediat

în cazul în care, în conformitate cu (207.10) și (207.13)

Acum trebuie să dezasambleze în mod individual cele trei cazuri menționate în declarația problemei. În cazul în care fie (cazurile a și b), atunci o valoare pozitivă, astfel, valoarea reală. Dacă (cazul b), valoarea este pur imaginar, iar valoarea reală. In acest ultim caz, forma expresiei

(207.24) indică faptul că avem de-a face cu o reflectare completă a undei incidente, astfel încât coeficientul de reflecție

Acesta trebuie să fie egală cu unu.

Acest lucru este ușor de verificat, ținând să-și exprime amplitudini (207.18a) și (207.186) și folosind identitatea

Având în vedere că valoarea este întotdeauna pur imaginar,

al treilea factor în (207.27) nu dă nici o contribuție la valoarea absolută a raportului în cazul în care valoarea reală (cazul b), al doilea factor este, de asemenea, raportul dintre cele două valori complexe conjugate și, prin urmare, nu contribuie la valoarea absolută a relației în cauză. Astfel, avem

Prin urmare, de la (207.26), rezultă într-adevăr că 1. În cazul A și B - valoarea imaginară) în extrema dreaptă există un val de călătorie, ca

și, în plus, conform ecuației (207.6)

In aceste expresii puls particule au trecut, iar densitatea de curent electric a particulelor în trecut prin (207.20) are forma

Prin urmare, în ceea ce privește expresia (207.22) pentru a obține formula coeficientului de transmisie

Acum, pentru a calcula valoarea, noi cu excepția identității

Noi folosim formula generală

folosind (207.18a), obținem

La substituirea ultima expresie în formula (207.29), factorul apare în ea

care este ușor de a arăta unitatea. Într-adevăr, înlocuirea și ținând cont de faptul că aici

Astfel, expresia pentru coeficientul de transmisie devine

Numitorul acestei expresii este convenabil să se separe valoarea intrinsecă proporțională cu produsul din înălțimea pas cu lățimea sa și este independentă de energia particulei:

In cazul ca avem sau Acest caz poate fi numit normal: are loc în teoria non-relativiste. Pe de altă parte, în cazuri și, prin urmare, unda pătrunde în regiunea de energii negative (vezi. Fig. 72), în cazul în care un impuls pozitiv este însoțit de un curent electric negativ. In cadrul sau

expresia (207.32) simplifică și ia forma

Prin urmare, este clar că potențialul pas permeabilitate în tranziția de la pozitiv la energia negativă scade rapid odată cu creșterea „dimensiunea efectivă“ pas Deoarece cazul, atunci exponent în expresia pentru coeficientul de transmisie aduce o contribuție, care este cu siguranță mai mică

în cazul în care - lungimea de undă Compton.