proporționalitate directă și inversă

Dacă t - mișcarea pietonilor timp (în ore), s - distanța parcursă (în kilometri) și deplasează uniform cu o viteza de 4 km / h, relația dintre aceste valori pot fi exprimate prin formula s = 4t. Deoarece există corespunde unei valori unice a pentru fiecare valoare a lui t, putem spune că cu funcția = 4t formula s este setat. Este numit directă proporționalitate și se determină după cum urmează.

Definiția. Proporționalitatea directă este o funcție care poate fi definită prin formula y = kx, unde k - inegală a numărului zero real.

Numele funcției y = k x datorită faptului că, în formula y = kx au variabilele x și y, care poate fi o valoare. Și dacă raportul dintre cele două cantități egale cu un alt număr decât zero, acestea sunt numite în mod direct proporționale. În cazul nostru = k (k ≠ 0). Acest număr se numește coeficientul de proporționalitate.

Funcția y = k x este un model matematic de multe situații reale deja luate în considerare în cursul inițial al matematicii. Una dintre ele este descrisă mai sus. Un alt exemplu: în cazul în care un pachet de 2 kg de făină, cum ar fi x achiziționat pachetul, din greutatea totală a făinii cumpărate (notat cu y) poate fi reprezentat prin formula y = 2, adică relația dintre numărul de pachete și întreaga masă de făină achiziționată este direct proporțională cu un factor k = 2.

Ne amintim unele proprietăți de proporționalitate directă, care sunt studiate în cadrul școlii de matematică.

1. Domeniul funcției y = k x și zona valorilor sale este un set de numere reale.

2. Graficul de proporționalitate directă este o linie dreaptă care trece prin origine. Prin urmare, se trasează o proporționalitate directă este suficient pentru a găsi un singur punct, el a deținut și nu coincide cu originea, și apoi prin acest punct și originea trage o linie dreaptă.

De exemplu, pentru a construi un grafic al y funcției = 2x, are punct suficient cu coordonatele (1, 2) și apoi trage o și prin interiorul acestora origine drept (Fig. 7).

3. pentru k> 0, funcția y = crește pe KX întregul domeniu; pentru k <0 - убывает на всей области определения.

4. Dacă funcția f - (. X2 y2) proporționalitatea directă și (. X1 y1), - perechile de valori ale variabilelor x și y, și x2 corespunzătoare ≠ 0 atunci.

Într-adevăr, în cazul în care funcția f - proporționalitatea directă, aceasta poate fi definită prin formula y = kx, apoi y1 = KH1. v2 = KH2. De când X2 ≠ 0 și k ≠ 0, v2 ≠ 0. Prin urmare, aceasta înseamnă.

În cazul în care valorile variabilelor x și y sunt numere reale pozitive, atunci se dovedesc o proprietate directă proporționalitate poate fi declarat după cum urmează: cu creșterea (scăderea) valoarea variabilei x este de mai multe ori mai mare decât valoarea corespunzătoare a crește y (scade) cu același factor.

Această proprietate este inerentă doar în proporție directă, și pot fi folosite în rezolvarea problemelor de cuvinte, care se ocupă în mod direct proporțional cu valoarea.

Problema 1. în termen de 8 ore de stringarie 16 părți fabricate. Câte ore este necesar pentru fabricarea de piese de 48 Turner, în cazul în care va lucra cu aceeași capacitate?

Decizie. Amploarea problemei abordate - funcționarea Turner, numărul de piese și performanța le-a făcut (adică, numărul de piese fabricate turner timp de 1 oră), acesta din urmă cantitatea este constantă, în timp ce ceilalți au valori diferite. De asemenea, numărul de piese și timpul necesar magnitudinii work- direct proporțional, deoarece raportul lor este un număr nu este egal cu zero, și anume -. Numărul pieselor fabricate turner 1 h În cazul în care cantitatea de elemente preluate din desemnat litere, timp x, și performanta - k, descoperim că = k sau y = kx, adică modelul matematic al situației prezentate în problema este o proporționalitate directă.

Pentru a rezolva problema în două moduri aritmetice:

Metoda 1: Metoda 2:

1) 16 8 = 2 (partea) 1) 48:16 = 3 (ori).

2) 48: 2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)

Rezolvarea problemei primei metode, să găsim mai întâi factorul de proporționalitate k, este egal cu 2, și apoi, știind că y = 2, găsi valoarea lui x cu condiția ca y = 48.

În rezolvarea problemei a doua metodă, am folosit proprietatea directă proporționalitate: de câte ori crește numărul de piese realizate de strungar, în cât mai mult timp și crește cantitatea de timp pentru producerea lor.

Considerăm acum funcția numită proporționalitate inversă.

Dacă t - trafic pietonal timp (în ore), v - viteza (în km / h) și a fost de 12 km, relația dintre aceste valori pot fi exprimate prin formula v # 8729; t = 20 și v =.

Deoarece fiecare valoare corespunde unei valori unice a t rate (t ≠ 0) v, putem spune că cu formula v = funcția specificată. Se numește proporționalitatea inversă și se determină după cum urmează.

Definiția. proporționalitate Inversa este o funcție care poate fi definită prin formula y =. unde k - un număr real nenul.

Numele acestei funcții, datorită faptului că există y = x și y, care poate fi o valoare. Și în cazul în care produsul a două cantități egale cu un alt număr decât zero, atunci ele sunt numite invers proporțională. În cazul nostru, xy = k (a ≠ 0). Acest număr k se numește coeficientul de proporționalitate.

Funcția y = este un model matematic de multe situații reale deja luate în considerare în cursul inițial al matematicii. Una dintre ele este descrisă mai înainte definiția inversă. Un alt exemplu în cazul în care achiziționat 12 kg de făină și răspândirea acesteia în x y kg cutii de fiecare, dependența dintre valorile de date pot fi scrise ca y = x-12, adică, este invers proporțional cu factorul k = 12.

Ne amintim unele proprietăți de proporționalitate inversă cunoscute de matematică școală.

1. Domeniul de definire a funcției y = x domeniul valorilor sale este un set de numere reale diferite de zero.

2. Graficul de proporționalitate inversă este o hiperbolă.

3. Atunci când ramura k> 0 hiperbolă situat in 1 si cadranele 3 si functia y = o scădere pe tot domeniul x (fig. 8).

când să <0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция у = является возрастающей на всей области определения х (рис. 9).

4. Dacă funcția f - (. X2 y2) proporționalitatea inversă și (. X1 y1), - perechile de valori ale variabilelor x și y corespunzătoare ,.

Într-adevăr, în cazul în care funcția f - proporționalitatea inversă, aceasta poate fi definită prin formula y =, și apoi. Deoarece x1 ≠ 0, 0 ≠ x2, x3 ≠ 0,

Dacă valorile variabilelor x și y sunt numere reale pozitive, este invers proporțională cu proprietatea poate afirma, după cum urmează: cu creșterea (scăderea) valorii variabilei x este de câteva ori mai mare decât valoarea corespunzătoare a scade y (creșteri) de către același factor.

Această proprietate este inerentă doar invers proporțional, și pot fi folosite în rezolvarea problemelor de cuvinte, care sunt considerate invers proporționale.

Problema 2. biciclist se deplasează la o viteză de 10 km / h, distanța parcursă de la A la B, timp de 6 ore. La ce oră petrec biciclist pe drumul de întoarcere, în cazul conducerii autovehiculului la 20 kilometri pe oră?

Decizie. Problema valorilor abordate: vitezei biciclistului, mișcarea și distanța de la A la B, acesta din urmă cantitatea este constantă, în timp ce ceilalți au valori diferite. Mai mult, viteza de deplasare și de timp - valori sunt invers proporționale, deoarece produsul lor este egal cu unele număr, și anume distanța parcursă. În cazul în care biciclistul timpul de circulație desemnat de y litere, viteza - x, iar distanța AB - k, vom vedea că xy = k sau = y. și anume modelul matematic al situației prezentate în problema, este invers proporțională.

Pentru a rezolva problema în două moduri:

Metoda 1: Metoda 2:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (ori)

2) 60:20 = 3 (4) 2) 6: 2 = 3 (h)

Rezolvarea problemei primei metode, să găsim mai întâi factorul de proporționalitate k, este egal cu 60, atunci, știind că = y. a găsit o valoare y, cu condiția ca x = 20.

În rezolvarea problemei a doua metodă am folosit este invers proporțională cu proprietatea care crește în numărul de ori viteza de deplasare, același factor a scăzut în timpul trecerii la aceeași distanță.

Rețineți că soluția problemelor specifice cu invers proporțională sau direct proporțională cu magnitudinea impus unele restricții cu privire la x și y, în special, acestea nu pot fi văzute pe întregul set de numere reale și subseturi sale.

Problema 3. Lena a cumpărat x creioane, Katja și de 2 ori mai mult. Desemnați numărul de creioane, Katja achiziționate de către y, exprimă în termeni de x și complot corespondența stabilită cu condiția ca h≤5. Este această funcție de conformitate? Ce este domeniu și gama de valori sale?

Decizie. Kate a cumpărat y = 2x creioane. Când trasarea funcției y = 2x trebuie remarcat faptul că variabila x reprezintă numărul de creioane și h≤5, deci poate lua numai valorile 0, 1, 2, 3, 4, 5. Această regiune va determina funcția. Pentru a obține o serie de valori ale acestei funcții, este necesară fiecare valoare x a domeniului este înmulțit cu 2, și anume acesta va fi setat. În consecință, graficul unei funcții y = 2x cu domeniu este multimea punctelor prezentate în figura 10. Toate aceste puncte aparțin liniei y = 2x.