prelegeri populare pe cărți de matematică

A. A. Bolibruh. problema Hilbert (100 de ani mai târziu)

Prima problemă Hilbert: ipoteza continuum

Ipoteza continuum, prima problemă Hilbert se referă la problemele fundamentele matematică și teoria mulțimilor. Acesta este strâns asociat cu o astfel de întrebare simplă și naturală este, „Cât de mult?“ „Mai mult sau mai puțin?“, Și practic orice elev de liceu poate înțelege ce este problema. Cu toate acestea, avem nevoie de câteva informații suplimentare pentru ao formula.

Luați în considerare următorul exemplu. Școala a avut loc o seara de dans. Cum de a determina cine are mai mult în această seară: băieți sau fete?

Puteți fi cu siguranță numărate pe cei și altele, precum și pentru a compara cele două numere rezultate. Dar este mult mai ușor să răspundă atunci când trupa a lovit un vals și toți dansatorii sunt împărțite în perechi. Apoi, în cazul în care toți participanții dansează, atunci există o pereche de fiecare, adică. E. Băieții și fetele aceeași sumă. Dacă ar fi fost doar băieți, apoi băieții mai sunt, și vice-versa.

Această metodă, uneori mai natural decât conversia directă, numit principiul partiționare în vapori. sau principiul unei corespondențe unu-la-unu.

Luați în considerare acum o colecție de obiecte de natură arbitrară --- set. Obiectele incluse în set sunt numite elementele sale. Dacă elementul este inclus în pluralitatea x este notat ca X .: x X. Dacă setul conținute în X2 set X1. t. e. toate elementele setului sunt de asemenea elemente X1 X2. atunci spunem că un subset X1 --- X2. și în jos ca jot: X2 X1.

O mulțime desigur. în cazul în care acesta este un număr finit de elemente. Seturile pot fi finit (de exemplu, mulți elevi din clasa) și fără sfârșit (de exemplu --- mulțimea tuturor numerelor 1,2,3 naturale.). Setul ale cărui elemente sunt numere, numite numerice.

Fie X și Y --- două seturi. Se spune că între aceste seturi de o corespondență. în cazul în care toate elementele din cele două seturi sunt împărțite în perechi de forma (x, y). unde x X. y Y. și fiecare element al X și Y ale fiecărui element participă la exact o pereche.

De exemplu, atunci când toți băieții și fetele de la un dans împărțit în perechi, și este un exemplu de unu-la-unu corespondență între mulțimea de fete și o mulțime de băieți.

Seturile, printre care se poate stabili o corespondență unu-la-unu, a spus să fie echivalentă sau equicardinal. Două seturi finite sunt echivalente dacă și numai dacă, atunci când acestea au același număr de elemente. Prin urmare, este firesc să presupunem că în cazul în care un set infinit este echivalent cu o alta, atunci elemente „la fel de mult“. Cu toate acestea, pe baza unei definiții a echivalenței, este posibil să se obțină un proprietăți foarte neașteptate de seturi infinite.

Luați în considerare orice set finit și oricare dintre propriile sale (non-gol și nu coincide cu el însuși) subset. Apoi, elementele dintr-un subset mai puțin. decât el însuși stabilit, adică. e. mai mică decât întreaga parte.

Ei au un set infinit de astfel de proprietate? Și poate avea sens pentru a pretinde că într-o varietate infinită de „mici“ elemente decât în ​​celălalt, de asemenea, infinit? După aproximativ două seturi infinite, încă mai putem spune doar că sunt echivalente sau nu. Și dacă nu sunt echivalente în seturi infinite generale?

În continuare, vom răspunde în mod constant la aceste întrebări. Și pentru a începe cu a da o poveste fantastică amuzantă din cartea N. Ya. Vilenkina „Tales of seturi.“ 1 Acțiunea are loc în viitorul îndepărtat, când oamenii din diferite galaxii se pot intalni reciproc. Prin urmare, pentru toate excursie construite în spațiu este un hotel imens, se întinde pe mai multe galaxii.

Acest hotel are un număr infinit de camere (camere), dar, așa cum era de așteptat, toate camerele sunt numerotate, iar pentru orice număr întreg pozitiv n, există o cameră cu acest număr.

Odată ce acest hotel a avut loc Congresul kosmozoologov, la care au participat reprezentanți ai tuturor galaxiilor. Având în vedere că galaxia este, de asemenea, un număr infinit, toate locurile au fost ocupate în hotel. Dar, de data aceasta, prietenul său a venit la directorul hotelului și ia cerut să se stabilească în acest hotel.

„După unele crezut, regizorul a vorbit cu managerul și a spus:

--- Pune-l la # 1.

--- Unde sunt Den ocupantului această cameră? --- l-am întrebat în administrator de surpriză.

--- Și a migrat la # 2. Chirias aceeași de la # 2 # 3 trimite de la # 3 la # 4 --- și așa mai departe. D. "

În general, lăsați camera de zi Guest k. se va muta la numărul k + 1. așa cum se arată în figura următoare:

Apoi, din nou, toată lumea va avea un număr și # 1 gratuit.

Astfel, un oaspete nou a fost în măsură să se stabilească --- doar pentru camerele hotelului sunt infinit de multe.

Inițial, membrii Congresului a preluat toate camerele sunt, prin urmare, între o multitudine de kosmozoologov și o mulțime de ea a fost o corespondență: fiecare kosmozoologu dat la numărul de pe ușa este scris întregul corespunzător. Este firesc să presupunem că delegații au fost „la fel de mult“, așa cum sunt numere naturale. Dar un alt om a venit, el, de asemenea, a trăit, iar numărul de locuitori a crescut cu 1. Dar ei au plecat din nou „la fel de mult“, așa cum sunt numere naturale: totul se potrivesc în hotel! Și dacă vom nota numărul de kosmozoologov 0 prin 2, obținem „identitate“ 0 = 0 + 1. Pentru orice final 0 este, desigur, nu este îndeplinită.

Am ajuns la o concluzie surprinzătoare: dacă la setul, care este echivalent pentru a adăuga un alt element, pentru a primi set, care din nou este echivalent. Dar este clar că-kosmozoologi delegați fac parte din mai multe persoane care se află în hotel după sosirea unui oaspete nou. Deci, în acest caz, partea care nu este „mai puțin“ întreg și „este“ un întreg!

Deci, definiția echivalenței (care nu a condus la nici o „ciudatenie“, în cazul seturilor finite) acea parte a setului infinit poate fi echivalentă cu întregul set.

Este posibil ca celebrul matematician Bolzano 3. care a încercat în argumentele lor aplică principiul unu-la-unu corespondență, el a fost frică de efecte neobișnuite, așa că nu a continuat să se dezvolte această teorie. Părea să-i absurd. Dar Georg Cantor 4 în a doua jumătate a secolului al XIX-lea, încă o dată a devenit interesat de această problemă, a devenit examinezi și a creat teoria seturilor. o secțiune importantă a fundamentelor matematicii.

Vom continua povestea noastră despre hotel infinit.

Noul Resident „nu a fost surprins când a doua zi dimineața a fost rugat să se mute la # 1.000.000. Tocmai ajuns la hotel cu întârziere kosmozoologi galaxiei VSK-3472, și a fost necesară pentru a găzdui o suplimentare de 999.999 de locuitori.“

Dar apoi a existat un fel de acoperire, și în același hotel a venit la filateliștii Congresului 5. Ei au avut, de asemenea, un număr infinit --- câte un reprezentant din fiecare galaxie. Cum au toate loc?

Această sarcină sa dovedit a fi foarte dificilă. Dar, în acest caz, am găsit o cale de ieșire.

„În primul rând, administratorul a ordonat chiriaș să se mute de la # 1 la # 2.

--- Un rezident # 2 # 4 mutat de la # 3 la # 6 ---, în general, din camera n --- 2n număr.

Acum, planul său a devenit clar: în acest fel, el a eliberat un număr infinit de numere impare și ar putea soluționa în masa lor filateliști. Ca rezultat, chiar și numerele au fost ocupate kosmozoologami și impare --- filateliști. Filatelist, care a stat în coada de așteptare n-lea, a avut loc numărul 2n-1 „Din nou, toate au reușit să plaseze în hotel, prin urmare, chiar mai mult efect surprinzător: ... Când combinați două seturi, fiecare dintre care este echivalent cu obținut nou set echivalent cu un e T .. ., chiar dacă „dublarea“ a setului, vom obține o mulțime, echivalent cu originalul!

În cele ce urmează vom considera numai seturi numerice --- subset al liniei reale. Setul de toate numerele de pe linie, m. E. Setul de numere reale, în general notat.

Numărarea și seturi nenumărate

Luați în considerare următoarea secvență :. (--- este mulțimea numerelor întregi și a numerelor raționale ---, t. E. O mulțime de numere de forma p / q. În cazul în care p și q --- întregi, q 0). Toate aceste seturi sunt infinite. Luați în considerare problema echivalenței lor.

Stabiliți o corespondență unu-la-unu între și. formează perechile de forma (n, 2n) și (-N, 2n + 1). n. și o pereche de (0,1) (numărul de pus. ---, iar a doua de la primul loc în fiecare pereche).

Există un alt mod de a stabili această corespondență, de exemplu, scrie toate numere întregi în tabel, după cum se arată în figură, și, evitând săgețile ei, alocați fiecare un număr întreg de unele camere. Astfel, „recalcula“ toate numerele întregi: fiecare z este asociat un număr întreg pozitiv (număr) pentru fiecare cameră există un număr întreg astfel încât acest număr este atribuit. În acest caz, o formulă explicită nu este neapărat să prescrie.

Astfel, echivalent.

Fiecare set echivalent cu setul de numere naturale este numit numărabil. Acest set poate fi „numărate“: enumera toate elementele numerelor naturale.

La prima vedere, numerele raționale pe linia „mult mai mult“ decât întregul. Acestea sunt situate dens. într-un interval arbitrar mic infinit de multe. Dar se pare că setul este, de asemenea, numărabil. Demonstrăm mai întâi + numărabilă (mulțimea tuturor numerelor raționale pozitive).

Să ne scrie toate elementele într-o astfel de tabel +: .. Primul rând --- toate numerele cu numitor 1 (.. Ie număr întreg), al doilea la numitor --- 2 etc (a se vedea figura.). Fiecare număr rațional pozitiv este necesar să se întâlnească în acest tabel, și nu una (de exemplu, numărul 1 = = = =. Întâlnite în fiecare rând din acest tabel).

Și acum recalculeze aceste numere: mersul pe jos pe săgeți, atribuie un număr fiecărui număr (sau omite numărul, în cazul în care a avut loc deja la noi înainte de a într-un alt post). Pe măsură ce înaintăm de-a lungul diagonalelor, vom merge în jurul întregului tabel (de ex. E., obține devreme sau mai târziu la oricare dintre numerele).

Deci, ne-am arătat o modalitate de a enumera toate numerele din +. t. e. au dovedit că + este numărabil.

Rețineți că această metodă nu păstrează ordinea de numerotare: două numere raționale se pot întâlni înainte, și poate --- și mai târziu.

Cum rămâne cu numerele raționale negative și zero? Ca și în cazul kosmozoologami și filateliști în hotel infinit. + Nu enumera toate numerele naturale, și numai chiar (nu-i oferind un număr de 1, 2, 3 și 2, 4, 6), atribuie numărul zero, 1, și toate numerele raționale atribuie negativ (în același mod ca și pozitiv ) numere impare, începând cu 3.

Acum, toate numerele raționale sunt numerotate naturale, prin urmare, este numărabilă.

Se pune întrebarea naturală: Poate toate seturile infinite sunt numărabile?

Sa dovedit că --- mulțimea tuturor punctelor de pe linia de numărul --- nenumărat. Acest rezultat, obținut prin Cantor în ultimul secol, a făcut o impresie foarte puternică asupra matematicienilor.

Să ne dovedesc acest fapt la fel de bine, așa cum a făcut Cantor: folosind procesul diagonală.

După cum știm, fiecare număr x reală poate fi scris ca o zecimală:
x = A, 12. n.
în care A --- întreg nu neapărat pozitiv și 1. 2. n. --- cifre (de la 0 la 9). Acest punct de vedere este ambiguu: de exemplu,
½ = 0,50000. = 0.49999.
(Într-o variantă de realizare, intrările începând cu a doua cifre după virgulă, sunt toate zerourile, iar într-un alt unele nouă ---). Pentru a înregistra a fost lipsită de ambiguitate, în astfel de cazuri, vom alege întotdeauna prima opțiune. Apoi, fiecare număr corespunde exact una dintre notația zecimală sale.

Pentru orice numere defini o cifră după cum urmează:
=
Pune (în acest număr k cifre după virgulă este egal cu 1 sau 2, în funcție de cifra este în picioare pe locul k după virgulă în număr zecimal xk).

Deci, folosind procesul diagonală am primit un număr real y. care nu se potrivește cu niciunul dintre numerele din tabel, pentru că y este diferit de fiecare XK cel puțin k-lea cifre ale expansiunii zecimale, și diverse înregistrări, după cum știm, sunt asociate cu numere diferite.

Presupunând că puteți conta toate numerele reale, avem o contradicție, specificând numărul, care nu este luată în calcul. În consecință, setul este nenumărat.

Seturile și nu sunt echivalente, și. prin urmare, toate numerele reale în unele sens „mai mult“ decât natural. Se spune că cardinalitatea (cardinalitatea continuului) este mai mare decât puterea.

Acum avem toate informațiile necesare pentru a formula o problemă bine-cunoscut al primului Hilbert:

Continuum gipoteza.S până la echivalență, există doar două tipuri de seturi de numere infinite: un set numărabilă și continuum.

Cu alte cuvinte, este necesar să se stabilească dacă există un set de putere intermediar. t. e. T. set T. care nu este echivalent cu nici. nr.

Această problemă are o mulțime de matematică. Georg Cantor însuși a afirmat în repetate rânduri că a dovedit această presupunere, dar de fiecare dată fiind vina.

Pe probele de matematică

Matematica --- o știință exactă, care necesită un raționament rigoare. Dar asta se dovedește cu strictețe orice afirmație? Acest lucru înseamnă că ia-l din axiome --- ipoteze luate fără dovezi.

Desigur, într-o gamă de axiome, care a pus bazele teoriei, există o anumită arbitrariu. Dar, de obicei, axiomele apar în mod natural, de a înțelege realitatea. În teoria mulțimilor, care fac parte din structurile descrise în secțiunile anterioare, există, de asemenea, un sistem recunoscut --- axiome Zermelo Fraenkel.

Dovedește ipoteza continuum --- atunci se retrage din aceste axiome. --- respinge înseamnă a arăta că în cazul în care se adaugă la sistemul de axiome, vom obține un set de declarații contradictorii.

--- Dl Duckies, --- a declarat Fiodor Simeonovich nedumerit. --- Aceasta este aceeași problemă Ben B-Bezalel. K-Cagliostro, de asemenea, a demonstrat că nu este n-p-soluții.
--- Noi știm că nu are nici o soluție, a spus --- Junta, oschetinivayas imediat. --- Vrem să știm cum să o rezolve.
--- K-o dată ce ești un motiv ciudat, K-Cristo. K-cum să caute o soluție pentru, atunci când nu este? B-prostii fel.
--- Ne pare rău, Theodore, dar că ești un motiv foarte ciudat. Prostii --- caută o soluție, dacă este așa. Este vorba despre modul în care să se ocupe de problema pe care nu are nici o soluție. Aceasta este o întrebare fundamentală profund.
A. Strugatski. Boris Strugatsky.
Luni începe sâmbătă

Sa dovedit că prima problemă Hilbert are o decizie cu totul neașteptată.

În 1963, matematicianul american Paul Cohen a demonstrat că ipoteza continuum nu poate fi nici dovedită, nici infirmată.

Acest lucru înseamnă că, dacă luați sistemul standard --- axiomele Zermelo Fraenkel (ZF) și se adaugă la aceasta ipoteza continuum ca o altă axiomă, veți obține un sistem coerent de declarații. Dar, dacă adăugați la negarea ZF a ipotezei continuum (de ex. E. La polul opus este), apoi din nou pentru a obține un sistem coerent de declarații.

Astfel, nici ipoteza continuum, nici negația ei nu poate fi derivată din axiomele standard ale sistemului.

Această concluzie se face un efect foarte puternic și chiar reflectate în literatura de specialitate (a se vedea. Motto).

Cum se poate face cu această ipoteză? De obicei, acesta este doar atașat la sistemul --- axiomele Zermelo Fraenkel. Dar, de fiecare dată când ceva se dovedesc, pe baza ipotezei continuum, asigurați-vă că pentru a indica faptul că acesta a fost utilizat în dovada.

1 Vilenkin N. Ya. Povești despre seturi. M. Science, 1965.

2 0 (citește: "Aleph-zero") - o notație standard pentru capacitatea (numărul de elemente) ale setului.

3 Bernard Bolzano (1,781--1848) --- matematician ceh.

4 Georg Cantor (1845--1918) --- matematician german.

5 Colectoare timbre.