Monotonia lecției - 10 clasă, Algebra
Lecția și prezentarea pe algebra în clasa 10 pe această temă. „Caracteristicile de studiu în monotonia studiilor Algoritm“
Ce vom învăța:
1. Reducerea și creșterea funcțiilor.
2. Derivat de comunicare și monotonie.
3. Două teoreme importante de monotonie.
4. Exemple.
Băieți, înainte de a ne-am examinat un număr de funcții diferite și grafice lor. Acum, să ne introducă noi reguli care se aplică pentru toate funcțiile pe care le-am considerat și vor fi luate în considerare în continuare.
Reducerea și creșterea funcțiilor
Să ne uităm la conceptul de creștere și descreștere funcții. Băieți, ce este funcția?
Funcția este y = f linie (x), în care fiecare valoare a lui x i se atribuie o valoare unică a lui y.
Să ne uităm la graficul unei funcții:
Pe diagramă arată noastre: mai multe x, y mai mici. Deci, să definim o funcție descrescătoare. Funcția descrescătoare se numește, în cazul în care valoarea mai mare a argumentului corespunde valorii minime a funcției.
Dacă x2> x1, atunci f (x2) x1, atunci f (x2> f (x1) sau, mai mult x, y mai.
În cazul în care funcția este în creștere sau în scădere pe unele interval de timp, atunci spunem că este monotona pe acest interval.
derivat Comunicare și monotonie
Băieți, dar acum să ne gândim cum să se aplice conceptul de derivat în studiul graficelor de funcții. Desenați un grafic de creștere a funcției derivabile și să efectueze un cuplu de tangentele la programul nostru.
Dacă te uiți la tangentele noastre vizuale sau să dețină orice altă tangentă, se poate observa că unghiul dintre tangenta și direcția pozitivă a axei X va fi ascuțite. Prin urmare, tangenta are o pantă pozitivă. Panta tangentei egală cu valoarea derivatului în punctele abscisă ale tangență. Astfel, valoarea derivatului este pozitiv la toate punctele de programul nostru. Pentru funcția crescătoare efectuează următoarea inegalitate: f „(x) ≥ 0 pentru orice punct x.
Băieți, să ne uităm la graficul unei funcții descrescătoare și construi o tangentă la graficul funcției.
Să ne uităm la tangenta și de mână cu nici o altă tangentă. Menționăm că unghiul dintre tangenta și direcția pozitivă a axei x - pentru obtuz, și, astfel, are o pantă negativă tangenta. Astfel, valoarea negativă a derivatului la toate punctele de programul nostru. Pentru funcția descrescătoare efectuează următoarea inegalitate: f „(x) ≤ 0, pentru orice punct x.
Deci, monotonia funcției depinde de semnul derivatului:
În cazul în care funcția este în creștere decalajul și are un derivat pe acest interval, acest derivat nu va fi negativ.
Dacă funcția este descrescătoare pe intervalul și are un derivat pe acest interval, acest derivat nu este pozitiv.
Important. intervalele la care ne uităm la funcția au fost deschise!
Două teoreme importante de monotonie
Teorema 1. Dacă pentru toate punctele de interval deschis X satisface inegalitatea f „(x) ≥ 0 (în cazul în care egalitatea cu zero a derivatului sau neefectuate sau efectuate, dar numai la un set finit de puncte), funcția y = f (x) mărește intervalul H.
Teorema 2. Dacă toate decalajul deschis punctele X satisface inegalitatea f „(x) ≤ 0 (în cazul în care egalitatea cu zero a derivatului sau neefectuate sau efectuate, dar numai la un set finit de puncte), funcția y = f (x) scade în intervalul H.
Teorema 3. Dacă toată perioada deschisă a punctelor X a egalității
f „(x) = 0, atunci funcția y = f (x) este constantă în acest interval.
Exemple de studii funcționale în monotonie
1) Pentru a demonstra că funcția y = x 7 + 3x 5 + 2x - 1 se ridică la linia reală întreg.
Soluție: Să ne găsim derivata funcției noastre: y „= 07 iunie + 15x 4 + 2. Deoarece grad atunci când x este chiar, atunci funcția de putere ia valori numai pozitive. Apoi, y „> 0 pentru fiecare x, și, prin urmare, prin Teorema 1, funcția noastră este în creștere pe linia reală întreg.
2) Să se arate că funcția scade: y = sin (2x) - 3x.
Să ne găsim derivata funcției noastre: y „= 2cos (2x) - 3.
Noi rezolva inegalitatea:
2cos (2x) - 3 ≤ 0,
2cos (2x) ≤ 3,
cos (2x) ≤ 3/2.
pentru că -1 ≤ cos (x) ≤ 1, deci inegalitatea noastră este satisfăcută pentru orice x, atunci, prin Teorema 2, functia y = sin (2x) - 3x scade.
3) Testul pentru monotonia funcției: y = x 2 + 3x - 1.
Soluție: Să ne găsim derivata funcției noastre: y „= 2x + 3.
Noi rezolva inegalitatea:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Apoi, funcția noastră crește cu x ≥ -3/2, și scade pe măsură ce x ≤ -3/2.
Răspuns: Dacă x ≥ -3/2 - creșteri ale funcției, atunci când x ≤ -3/2 - funcția scade.
4) Testul pentru monotonia funcției: y = $ \ sqrt $.
Soluție: Să ne găsim derivata funcției noastre: y „= $ \ frac> $.
Noi rezolva inegalitatea: $ \ frac> ≥ $ 0 ° C.
Inegalitatea noastră este mai mare sau egală cu zero:
$ \ Sqrt $ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0
x ≥ 1/3.
Noi rezolva inegalitatea:
$ \ Frac> ≤ $ 0,
$ \ Sqrt ≤ $ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Dar acest lucru este imposibil, din moment ce rădăcina pătrată este definită numai pentru expresii pozitive, atunci perioadele de scădere a funcției noastre acolo.
Răspuns: Dacă x ≥ 1/3 creșteri ale funcției.
Sarcini pentru decizia independentă
a) Pentru a demonstra că funcția y = x + 4x 3 9 + 1x - 10 crește pe linia reală întreg.
b) Să se arate că funcția scade: y = cos (5x) - 7x.
c) Testul pentru monotonia funcției: y = 2x 3 + 3x 2x + 5.
d) Testul pentru monotonia funcției: y = $ \ frac $.