Matricea de transformare fără a modifica rangul său - studopediya

Se spune că gradul de matrice mărime A Ranka de m × n este egal cu r. în cazul în care există cel puțin o submatrice non-singular de ordinul r, în timp ce orice submatrice de ordin superior este singular.

În cazul în care această definiție este solidă în ceea ce privește factorii determinanți, acesta va arata ceva de genul:

O matrice de dimensiune m × n are rangr. în cazul în care există cel puțin un r nenul determinant al ordinii, atunci determinantul orice submatrice de ordin superior zero.

Este evident că Ranka .

Pentru a calcula rangul matricei poate fi utilizată o metodă de transformări elementare de rânduri și coloane - în exact aceeași metodă care este utilizată pentru a calcula anumiți factori determinanți. Este necesar să se amintească metoda de bază de funcționare:

  1. Pompare rânduri sau coloane.
  2. rând Multiplicarea sau coloană printr-un număr de zero.
  3. Adaos la rândul (coloana) din alt rând (coloană), multiplicată anterior prin orice număr întreg.
  4. Zero rând sau coloană se elimină.

Scopul este de a aduce matricea de transformare elementară pentru a forma o etapă, adică, Quasitriangular în minte - cum ar fi cel prezentat mai jos:

.

Evident, factorul determinant al treilea ordin al elementelor din primele trei rânduri și coloane, diferite de zero, iar rangul matricei este de 3:

Rețineți că orice matrice poate fi reprezentat prin transformări echivalente (în ceea ce privește rangul său imuabilitatea) pentru a bloca formularul

unde E - matricea identitate.

De exemplu, pentru matricea de transformare (1) într-o formă suficient de a adăuga la a doua, a treia și a cincea coloanele din prima coloană este selectată în mod adecvat koeeffitsientami care ne conduce la matricea

De fapt, rezultatele acestor schimbări sunt foarte simple: toate pozitiile prima linie - cu excepția primei - elementele au apelat la zero.

Apoi, adăugarea unei coloane a doua la a treia, a patra și a cincea - cu un selectat în mod adecvat koeeffitsientami obțină

Următoarea divide fiecare linie în coeficientul corespunzător și zero, coloanele de ștergere:

.

Matricea considerată este dată vizualizarea de mai sus.

Găsiți rangul matricei

Decizie. calcul direct verifică dacă det A = 0. Prin urmare, rangul A <4.

Cu toate acestea, există un minor de ordinul trei nenulă. Astfel minor este, de exemplu, determinantul elementelor primele rânduri, în al doilea rând, și a treia din a doua coloana a treia, a patra.

Prin urmare, gradul A = 3.

Matricea de transformare fără a modifica rangul său

Luați în considerare următoarea matrice elementară:

  1. Pompare rânduri sau coloane.
  2. rând Multiplicarea sau coloană printr-un număr de zero.
  3. Adaos la rândul (coloana) din alt rând (coloană), multiplicată anterior prin orice număr întreg.

Teorema. transformări elementare nu se schimba rangul unei matrice.

Pentru a demonstra teorema este suficient să se dovedească faptul că, ca rezultat al transformărilor elementare zero, determinant este zero, și un nenul - nenul.

  1. Pompare rânduri sau coloane ale matricei schimbă doar semnul determinantului.
  2. Când multiplicând rând (coloana) a matricei de către un număr determinant nenul este multiplicat cu acest număr.
  3. Determinantul nu se schimbă dacă un rând (coloană) se adaugă un alt rând (coloană).

Astfel, un rezultat al transformărilor elementare matrice singulare sunt singulare și nesingular - nesingular.

1. Găsiți rangul de soluție de matrice. Scădeți din linia a treia prima și a patra linie: Daca adaugam acum linia a treia, înmulțit cu (-2) (-3) și, respectiv, 2, la celelalte rânduri din a patra coloană apare numărul maxim posibil de zerouri scădere Următorul din al patrulea rând primul rând și apoi pentru a adăuga oa doua linie obținută: picătură un șir nul și completarea acestei conversii, deoarece a devenit evident că există un al treilea ordin sub-matrice al cărei determinant nu este zero, și deci nu există mai mulți determinanți nenule în ÎNALTĂ comandă: Astfel, rangul matricei A este egal cu 3.

2. Găsiți rangul de soluție de matrice. Pentru a obține un număr maxim posibil de zerouri în prima coloană a matricei, adăugați oa doua linie la primul, al treilea și al patrulea rânduri, pre-înmulțirea cu (-2), (4) și (-7), respectiv: Apoi scade din a treia linie prima linie și de a patra - de două ori primul: este clar că rangul acestei matrice este egal cu 2, deoarece a devenit evident faptul că există un minor nenul de ordinul al doilea, iar în acest caz nu există minori nenuli de ordin superior. Cu toate acestea, vom efectua conversia ulterioară a matricei care rezultă, cu intenția de a demonstra unele tehnici utile. Dacă adăugăm acum prima coloană la al doilea, al treilea, al patrulea și al cincilea - cu coeficienți aleși în mod corespunzător, al doilea rând de coloane având la zero elemente: Astfel, în cazul în care coloana cu singurul element nenul într-un rând, toate celelalte elemente ale acestui rând pot fi înlocuit cu zerouri. În continuare, se împarte a doua coloană la (-11) și apoi adăugați-l cu coeficienții corespunzători ai a treia și a cincea coloane: În concluzie inversabile primul și al doilea rânduri, și scrie matricea rezultată în formă de bloc: Evident, ordinea rang este matricea identitate E.

3. Găsiți rangul de soluție de matrice. Pentru a obține un număr maxim posibil de zerouri în prima coloană a matricei, adăugați oa doua linie la primul, al treilea și al patrulea rânduri, respectiv cu coeficienții (-2), (4) și (-3): Folosind prima coloană, obținem zerouri în toate celelalte coloane poziţia în al doilea rând: Adăugăm ultima linie la prima și a treia - coeficienții 3 și (-5), respectiv: Utilizarea a doua coloană, zerouri înlocui toate elementele din al patrulea rând dispare A35 elementul (cu exceptia a doua!). adăugarea la linia a treia prima linie cu un factor de 6: Se împarte ultima coloană 4 și cu ajutorul acestuia se obține numărul maxim posibil de zerouri în primul rând: transformarea ulterioară este destul de evident :. . . Rangul matricei A este egal cu 4.