Matricea de conversie liniară - studopediya

Să considerăm o transformare liniară. Găsim relația dintre coordonatele de coordonate x și y ale imaginii sale. Deoarece coordonatele vectoriale depind de alegerea unei baze, este necesar să se stabilească baza pentru constatarea această privință.

Alegeți în spațiul n-dimensional al unei baze,
și lăsați. Prin liniaritatea conversie imagine a vectorului x este

Aici - imaginile vectorilor de bază.

Noi extindem vectorii de vectori de bază. Notând coordonatele vectorului în baza selectată prin obținerea

Substituind ecuația (6.2) în (6.1) și schimbarea ordinii însumării, găsim

Din cauza unicitatea expansiunii vectorului

pe vectorii de bază din egalitățile (6.3) și (6.4), obținem

sau în formă extinsă,

Formula (6.5) stabilește legătura între coordonatele y transformate vectoriale și coordonatele vectorului x pentru transformare liniară, adică reprezintă transformări liniare în formă de coordonate.

Noi asociem vectorii x și y coloane matrice X și Y, compus din coordonatele vectorilor în baza aleasă:

Apoi, (6.5) pot fi scrise sub forma de matrice:

Aici, - o matrice pătrată, i th coloană din care este compus din coordonatele vectorului în baza selectată.

Astfel se dovedește că pentru orice bază fixă ​​de transformare liniară poate fi scrisă într-o manieră unică în formă de matrice. Matricea A este matricea de transformare liniară (în baza selectată).

In mod evident, reversul medaliei este valabil: orice tip de conversie (6.6.), Unde A - matrice pătrată arbitrară, și X și Y - coloanele matricei este o transformare liniară. Într-adevăr, având în vedere proprietățile operațiilor de multiplicare matrice pentru toate coloanele X1 și X2, precum și orice scalar o au egalitati
A (X1 + X2) = AH1 + AX2. A (AH1) = aAH1.

Deoarece în baza aleasă dintre transformare liniară și o matrice de transformare liniară are unu la unu corespondență, în cazurile în care este fixată baza, este necesar să se identifice de transformare A cu matricea A și înregistra forma matricea de transformare liniară Y = AX sau sub formă de coordonate ( 6.5).

La schimbarea de bază variază și matricea de transformare liniară.

Exemple. 1. Găsiți o matrice de transformare liniară, în cazul în care, în baza în care coordonatele date ale vectorilor x și y.

○ relații de scriere între coordonatele vectorilor x și y, respectiv, și o transformare liniară matrice A:

2. Găsiți (în aceeași bază), coordonatele vectorului atunci când se administrează o transformare liniară matrice A

○ Transformarea liniară poate fi scrisă sub formă de matrice (6.6):

Rezolvarea ecuația matricei, obținem,
și anume . # 9679;