Legea numerelor mari și limita

7. legea numerelor mari și limita

În conformitate cu legea numerelor mari, în sens larg se referă la principiul general potrivit căruia, pe modul de redactare a academicianului AN Kolmogorov, efectul cumulativ al unui număr mare de factori conduce aleatoare (în anumite condiții foarte generale) la rezultat, aproape independent de caz. Cu alte cuvinte, atunci când un număr mare de variabile aleatoare de rezultatul mediu încetează să mai fie aleatorii poate fi prevăzut cu un grad ridicat de certitudine.

În conformitate cu legea numerelor mari, în sens restrâns se referă la un număr de teoreme, fiecare dintre acestea fiind pentru cei sau alte condiții stabilite de fapt, se apropie de caracteristicile medii ale unui număr mare de teste la unele anumite constante. Înainte de a porni la aceste teoreme, considerăm inegalitățile Markov și Chebyshev.

7.1. inegalitatea lui Markov (Lema Cebîșev)

Teorema. Dacă variabila aleatoare ia numai valori non-negative, iar așteptarea este, atunci, pentru orice număr pozitiv inegalitate

Dovada. Dovada pentru o variabilă aleatoare discretă. Aranjați valorile sale în ordine crescătoare, din care o parte din valoarea acelei părți a valorii

Scriem expresia pentru așteptările.

în cazul în care - probabilitatea ca o variabilă aleatoare va avea valori, respectiv.

Se îndepărtează primii termeni non-negativi (reamintim că toate), obținem.

Înlocuirea inegalității mai puține valori. Noi devin mai puternici sau inegalitate.

Suma probabilităților în partea stângă a acestei inegalități reprezintă suma probabilităților de evenimente

Deoarece evenimentul, și invers, atunci înlocuind această expresie inegalitate. Am ajuns la o altă formă de inegalitate Markov:

inegalitatea Markov este aplicabilă oricăror variabile aleatoare non-negative.

7.2. inegalitatea lui Cebîșev

Teorema. Pentru orice variabilă aleatoare care are, inegalitatea medie și varianța Cebîșev lui :. în cazul în care. .

Aplicăm inegalitatea lui Markov a variabilei aleatoare. luând ca număr pozitiv. Obținem.

Deoarece echivalentă inegalității. și este variația variabilei aleatoare. obținem inegalitatea necesară.

Având în vedere că evenimentele și invers, inegalitatea Cebîșev poate fi scrisă într-o altă formă:

inegalitate Cebîșev în ambele forme se aplică oricăror variabile aleatoare. Aceasta stabilește limita superioară și limită inferioară probabilitatea evenimentului în cauză.

Scriem inegalitatea Cebîșev pentru unele variabile aleatoare:

a) pentru variabila aleatoare. având distribuția binomială cu media și varianța. ;

b) pentru evenimentul de frecvență în studiile independente, fiecare dintre care se poate produce cu aceeași probabilitate. și având o dispersie.

Notă. În cazul în care așteptările și variația variabilei aleatoare. dreptul inegalitățile Markov și Chebyshev va fi negativ, dar într-o altă formă va fi mai mare decât 1. Acest lucru înseamnă că utilizarea acestor inegalități, în aceste cazuri, va duce la un rezultat banal: probabilitatea unui eveniment mai mult de un număr negativ sau un număr mai mic, depășind 1. Dar o astfel de concluzie este evidentă și fără date inegalități. Desigur, acest fapt reduce valoarea inegalităților Markov și Chebyshev pentru rezolvarea problemelor practice, cu toate acestea, nu reduce valorile lor teoretice.

7.3. teorema Cebîșev

Teorema. În cazul în care variația de variabile aleatoare independente

. ,... este limitată la aceeași constantă, cu o creștere nelimitată a numărului de media aritmetică a variabilelor aleatoare converge în probabilitate la media așteptărilor lor matematice. ...,. și anume

Mai întâi vom dovedi o formulă, atunci afla semnificația expresiei „convergență în probabilitate“.

inegalitatea Cebîșev de a obține media aritmetică a unei variabile aleatoare, adică, pentru

Ne găsim estimarea așteptărilor și varianța:

Aici am folosit proprietățile și așteptările varianța, și, în special, că variabilele aleatoare. , ..., sunt independente, și, prin urmare, variația sumei lor este egală cu suma variațiilor.

Noi scrie inegalitatea pentru variabila aleatoare

Din moment ce a fost dovedit. atunci. și prin inegalitatea Teorema trece la o inegalitate mai puternică:

pentru că atunci când valoarea duce la zero, obținem formula dorită.

Noi subliniem semnificația teorema lui Cebîșev. Cu un număr mare de variabile aleatoare. , ..., este practic sigur că media lor - valoare aleatoare, într-un fel un pic diferit de valoarea non-aleatoare. și anume practic încetează să mai fie întâmplătoare.

Corolar. În cazul în care variabilele aleatoare independente. ... au aceleași așteptări, egale. și dispersia lor limitate la una și aceeași constantă, inegalitatea probelor ia forma:

teorema lui Cebîșev și corolarul ei sunt de o mare importanță practică. De exemplu, o companie de asigurări trebuie să stabilească mărimea primei, care trebuie să plătească asigurătorul; în acest caz, compania de asigurări se obligă să plătească la producerea evenimentului asigurat o anumită sumă asigurată. Având în vedere pierderea de frecvență asigurat în momentul producerii evenimentului asigurat ca o variabilă aleatoare, și având o statistică cunoscute astfel de cazuri, este posibil să se determine pierderea medie numărul mediu la apariția unor evenimente asigurate care, în conformitate cu teorema lui Cebîșev cu un grad ridicat de încredere poate fi considerată ca fiind aproape o valoare aleatorie. Apoi, pe baza acestor date și suma propusă asigurată este determinată de mărimea primei. Fără a lua în considerare legea numerelor mari (teorema lui Cebîșev lui) posibilitatea de pierderi substanțiale ale societății de asigurare (în cazul în care understating mărimea primei de asigurare), sau pierderea de atractivitate a serviciilor de asigurare (pentru umflarea valoarea contribuției).

Un alt exemplu. Dacă este necesar să se măsoare o anumită valoare, valoare care este adevărat. efectuat măsurători independente de această mărime. Lăsați rezultatul fiecărei măsurători - o variabilă aleatoare. În cazul în care nici o eroare de măsurare sistematică (care denaturează rezultatul măsurătorii în aceeași direcție), este firesc să se presupună că, în orice. Apoi, pe baza mediei aritmetice corolarul teoremei Cebîșev rezultatelor măsurătorilor pentru probabilități converg spre adevărata valoare. Aceasta fundamenteaza alegerea mediei aritmetice ca o măsură a valorii adevărate.

În cazul în care toate măsurătorile sunt efectuate cu aceeași precizie, caracterizat prin dispersie. atunci variația medie este egală cu

și abaterea standard egală. Raportul rezultat este cunoscut sub numele de „rădăcina regulilor“, spune că variația medie așteptată în medie, mai puțin de ori variația fiecărei măsurători. Astfel, prin creșterea numărului de măsurători pot reduce în mod arbitrar efectul erorilor aleatoare (dar nu și sistemică), adică creșterea preciziei de determinare a valorii reale.

7.4. teorema lui Bernoulli și Poisson

TeoremaBernulli. Frecvența evenimentelor în studiile independente repetate, în fiecare dintre care poate avea loc cu aceeași probabilitate. cu o creștere nelimitată a numărului converge în probabilitate probabilitatea acestui eveniment într-un test separat:

Concluzia teoremei decurge direct din inegalitatea Cebîșev pentru frecvența evenimentului la.

Note. Teorema lui Bernoulli este o consecință a teoremei Cebîșev, din moment ce frecvența evenimentelor pot fi reprezentate ca media variabilelor aleatoare alternative independente cu aceeași lege de distribuție. Dovada Teorema (voluminoasă), eventual fără referire la teorema (inegalitate) Cebîșev. Punct de vedere istoric, această teoremă a fost dovedit a fi mult mai devreme teorema mai generală a Cebîșev.

Teorema lui Bernoulli oferă o bază de înlocuire necunoscută eveniment probabilitate teoretică frecvența sau probabilitatea statistice obținute în studii independente repetate efectuate în aceleași condiții ale complexului. De exemplu, în cazul în care probabilitatea nașterii băiatului este necunoscut pentru noi, că valoarea sa putem accepta frecvență (probabilitate statistică) a acestui eveniment, care este cunoscut de mulți ani de date statistice, este de aproximativ 0515.

generalizarea directă a legea lui Bernoulli este teorema lui Poisson, atunci când probabilitatea unui eveniment la fiecare test diferit.

Teorema Poisson. Frecvența evenimentelor repetate încercări, în care fiecare poate să apară cu probabilități. în cazul în care o creștere a numărului de probabilitate nedeterminată converge la media evenimentele de probabilitate în teste separate, și anume

Teorema lui Poisson rezultă imediat din teoreme Cebîșev, în cazul în care variabilele aleatoare să ia în considerare variabile aleatoare alternative cu legile cu distribuție parametri. Deoarece așteptările sunt variabile aleatoare, respectiv,

. ,.... iar dispersia lor este limitată la un număr, această formulă rezultă direct din Teorema Cebîșev.

Rolul important al legii numerelor mari, în baza teoretică a metodelor de statisticii matematice și aplicațiile sale a condus la o serie de studii care vizeaza intelegerea aplicabilitatea generală a prevederilor prezentei legi secvenței de variabile aleatoare. Astfel, într-o teoremă Markov a dovedit egalitatea limită de valabilitate pentru variabile aleatoare dependente furnizate.

De exemplu, temperatura într-o anumită zonă în fiecare zi a anului - valoarea aleatoare, supuse unor fluctuații semnificative pe parcursul anului, și dependente, din cauza vremii în fiecare zi, în mod evident, afectează în mod semnificativ vremea zilelor precedente. Cu toate acestea, temperatura medie

aproape neschimbat pentru zona, timp de mai mulți ani, fiind aproape non-aleatoare, predefinite.

În plus față de diferitele forme ale legii numerelor mari în teoria probabilităților, există încă multe forme de așa-numita „lege puternic de un număr mare“, care nu prezintă nici o „convergență în probabilitate“ și „convergența cu probabilitate 1“ medii diferite variabile aleatoare la media non-aleatoare. Cu toate acestea, legea puternic de mare interes în studiile teoretice și nu la fel de importantă pentru aplicarea sa în economie.

7.5 teorema limitei centrale

Legea de mai sus a numerelor mari determină că abordarea mijlocul unui număr mare de variabile aleatoare pentru a determina constantele. Dar nu sunt limitate la modelele care rezultă din suma variabilelor aleatoare. Se pare că, în anumite condiții, efectele combinate ale variabilelor aleatoare duce la o anumită - și anume, la legea de distribuție normală.

Teorema limită centrală este teoria grupurilor dedicate stabilirii condițiilor în care există o distribuție normală. Printre aceste teoreme un loc important aparține teorema lui Lyapunov.

TeoremaLyapunova. În cazul în care - variabile aleatoare independente, fiecare dintre care există așteptări. dispersie. moment, centrală absolută a treia ordine și

legea valorii de distribuție în cazul în care, în conformitate cu proprietățile legii normale înseamnă că

în cazul în care - funcția Laplace.

Sensul condiție este ca suma nu a fost termenii, impactul pe care asupra imprastierea unui copleșitor de mare în comparație cu influența tuturor celorlalți, și ar trebui să existe un număr mare de variabile aleatoare, din care efectul este mic în comparație cu influența totală a celorlalți. Astfel, ponderea fiecărui individ pe termen trebuie să tindă la zero, cu număr tot mai mare de termeni.

Corolar. În cazul în care - variabile aleatoare independente, în care există așteptări egale. dispersia absolută și momentele centrale de ordinul trei. valoarea legii de distribuție în mod arbitrar aproape de legea normală.

Dovada se reduce la verificarea stării

În special, în cazul în care toate variabilele aleatoare sunt distribuite în mod identic, legea de distribuție a sumei de infinit aproape de legea normală.

Acum avem o șansă de a dovedi încă o dată teorema locală și integrală Moivre-Laplace.

Luați în considerare o variabilă aleatoare. în cazul în care - numărul de apariții ale evenimentului în cadrul studiilor independente, în care fiecare poate să apară cu aceeași probabilitate. și anume - o variabilă aleatoare cu legea de distribuție binomială, pentru care speranța matematică și varianța.

Variabila aleatoare. precum și o variabilă aleatoare. În general vorbind, discret, dar un număr mare de teste de semnificație sunt situate pe axa x, astfel aglomerat încât să poată fi considerată ca fiind continuu cu o densitate de probabilitate.

Găsim caracteristici numerice ale unei variabile aleatoare. folosind proprietățile de așteptare și varianța:

Datorită faptului că variabila aleatoare este suma alternative variabile aleatoare independente, variabile aleatoare este, de asemenea, suma de variabile aleatoare independente, identic distribuite și, în consecință, pe baza teoremei limită centrală are un număr mare de distribuție aproape de legea normală standard cu parametri. .

Folosind proprietatea legii normale, obținem. pentru o variabilă aleatoare normalizat.

Într-adevăr, inegalitatea este echivalentă cu. Punerea. și având în vedere că. Obținem.

Probabilitatea ca un eveniment va avea loc din nou în teste independente pot fi scrise ca aproximativ:

Cu cât mai puțin. mai precis egalitatea aproximativă. Minim (număr întreg). Prin urmare, putem scrie :. în cazul în care. .

Pentru mici au. în care: - densitatea unui standard distribuit în mod normal variabilă aleatoare cu parametri. . și anume

Presupunând obține formula locală DeMoivre-Laplace:

.
Notă. Trebuie avut grijă, folosind teorema limită centrală în studiile statistice. Rata de convergență la legea normală depinde în mod esențial de tipul de termeni de distribuție. De exemplu, însumarea variabilelor aleatoare uniform distribuite deja la 6-10 termeni pot fi realizate în mod suficient de aproape de distribuția normală, realizând în același timp aceeași vecinătate atunci când însumarea - variabile aleatoare distribuite vor avea nevoie de mai mult de 100 de termeni.

7.6. Rezolvarea sarcinilor tipice

Example1. Numărul mediu de apeluri care sosesc la colectorul de plante pentru o oră, probabilitate 300.Otsenit egal că, în următoarea oră numărul de apeluri Ēntrerupčtorului: a) depășește 400; b) nu este mai mult de 500.

Decizie. a) condiție. Noi folosim formula

. Apoi. și anume probabilitatea ca numărul de apeluri depășește 400, nu este mai mare de 0,75;

b) utilizarea formulei. Apoi. și anume probabilitatea ca numărul de apeluri este mai mic de 500, nu va fi mai mică de 0,4.

Exemplul 2. Suma tuturor depozitelor în sucursală a unei bănci este de 2 milioane de ruble. și probabilitatea ca o contribuție luată la întâmplare nu va depăși 10 de mii. ruble. egal cu 0,6. Ce se poate spune despre numărul de contribuabili?

Decizie. Să - mărimea contribuției întâmplării luate, și - numărul tuturor depozitelor. Apoi, din condițiile problemei, rezultă că valoarea medie a depozitului (mii. Frecați.). Conform inegalității Markov. sau

Având în vedere că. Obținem. în cazul în care. și anume numărul de investitori nu este mai mare de 500.

Decizie. a) lasa - consumul de apă cu fermele de animale. Cu condiția. Folosind Markov inegalitate. Obținem. și anume nu mai puțin de 0,5;

b) dispersia. Deoarece limitele intervalului simetric în raport cu așteptările. este de a evalua probabilitatea unor astfel de evenimente se pot aplica Cebîșev inegalitate.

și anume nu mai puțin de 0.96. Această problemă este deviz probabil evenimente găsite în STI cu ajutorul Markov inegalității. a fost rafinat cu ajutorul inegalității Cebîșev.

Decizie. Prin ipoteză, probabilitatea ca piesa defectă este egală. Numărul pieselor defecte are o distribuție binomială și limitele sale 60 și 100 sunt simetrice în jurul mediei.

În consecință, evaluarea probabilității evenimentului dorit

pot fi găsite de formula:

și anume nu mai puțin de 0.808.

Aplicând teorema Corolar integrantă Laplace Muavra- obține

și anume probabilitatea unor astfel de evenimente este aproximativ egal cu 0,979. Acest rezultat nu contrazice estimarea găsit folosind inegalitatea Cebîșev. Rezultate timp de contrast, deoarece inegalitatea Cebîșev lui dă o estimare mai mici legate de probabilitatea de co-existența dorită pentru orice variabilă aleatoare, iar teorema integrală a de Moivre-Laplace conferă o valoare destul de exactă a probabilității în sine (mai precis cu atât mai mare), deoarece se aplică numai numai pentru o variabilă aleatoare având o anumită, și anume - distribuția binomială.

Legea numerelor mari și limita

Contoriza numărul de numere întregi zecimale mai mari de 4 și nu mai mare de 19, la care înregistrarea în ternar rezultatul final notație este de două numere diferite. În răspunsul dumneavoastră, vă rugăm să număr întreg

Lecția de matematică în gradul 2. Sistemul educațional „Școala 2100“