lecții distractive pentru elevi

Cuvinte mici cu o mare valoare

După ce a primit o lucrare dovedită în matematică, Klaus a fost foarte surprins:
- Ce pretentios profesorul nostru, - a spus el unui prieten. - Am scris bine, cu excepția câtorva catchphrases mici, dar încă în primele patru sarcini nu sunt primite note decente! Acestea vor include:

1. În ce condiții pot prevedea împărțirea în domeniul numerelor naturale?
2. Care este punctele de axa reală corespunde un număr natural?
3. Are numărul de Acțiuni 3741111 3? Justificați răspunsul.
4. a) este ca toate numerele naturale au numărul anterior?
b) În cazul în care această afirmație este greșită, explică de ce.
Klaus a scris:

1. Împărțiți o. b în domeniul numerelor naturale posibile în cazul în care dividendul este un multiplu al divizorului B sau în cazul în care b nu este zero.
2. Fiecare număr natural corespunde unui punct de pe axa reală.
3. Numărul 3741111 este divizibil cu 3. Raționament: dacă numărul este divizibil cu 3, atunci suma cifrelor acestui număr este divizibil cu 3.
4. a) incorect, deoarece numărul 1 nu a precedent.
b) Toate numerele naturale nu au numere anterioare.

In timp ce prietenii se uită la locul de muncă, Klaus a continuat,
- Și toate doar pentru că prima problemă împreună și am scris SAU, iar al doilea am uitat puțin cuvânt lin, și deduceri, prin urmare, de asemenea, a primit, în ciuda faptului că totul era adevărat.

Conform deciziei celei de a treia sarcină profesorul a scris fundație greșită.

- Hans a scris după cum urmează: „Din moment ce suma de cifre este divizibil cu 3, atunci numărul în sine este divizibil cu 3“. Pentru aceasta el a primit o evaluare bună. Și eu aproape că nu am văzut o diferență în răspunsurile noastre. În ceea ce privește a patra sarcina, apoi am prins: se poate observa că propoziția: „Toate numerele naturale nu au nici un precedent“ - este, de asemenea, greșit.

Din cuvintele lui Klaus poate trage următoarea concluzie.

Mici, cuvintele aproape invizibile, cum ar fi AND, OR, exact, poate face o mare diferență. Și este nu numai cuvinte mici în sine, dar, de asemenea, locul lor în propoziție este importantă (de exemplu, plasați cuvintele, dacă da, nu).

Pentru a continua să facă astfel de greșeli, care a făcut Klaus nostru, uita-te la aceste cuvinte mici, cu o mare valoare.

NU MAI, nu mai puțin, exact unul și numai unul, cel puțin o

Luați în considerare afirmația:
Fiecare număr natural corespunde unui punct de pe axa reală.

Această afirmație este adevărată. Acesta exprimă același înțeles ca spunând:
Fiecare număr natural corespunde cu cel puțin un punct pe o linie număr.

Aceste propuneri nu au constatat că orice număr natural corespunde la un singur punct de pe axa reală. Acestea pot fi de mai multe puncte, dar în orice caz, nu mai puțin de unul.

După cum puteți vedea, informațiile din aceste situații este semnificativ mai mică decât în ​​propoziția:
Fiecare număr natural corespunde unul și numai un singur punct de pe linia numărul.

Acum este ușor pentru a afla dacă următoarele propoziții sunt adevărate:
1. Este exact 3-una numere naturale, care sunt divizibile cu 3.
2. Există 3-un singur număr natural divizibil cu trei.
3. Există cel puțin trei numere întregi nenegative o singură valoare divizibile cu 3.

Prima afirmație nu este cu siguranță adevărat, pentru că există mai mult de 3 numere întregi non-negative, o singură valoare divizibilă cu 3, și anume, numărul de 0, 3, 6, 9. Declarațiile 2 și 3 - dreapta, ei au același înțeles.

În același mod, putem stabili că situația între 1 și 100 are cel puțin 50 de numere naturale - chiar greșit, pentru că, de fapt, acestea sunt doar 49 (adică mai puțin de 50).

Verificați dacă următoarele afirmații sunt adevărate.
a) Nu există mai mult de 9 numere întregi pozitive clare.
b) Nu există mai mult de două dintre chiar PRIMES.
c) Un triunghi nu are mai mult de trei unghiuri ascuțite.
g) Ecuația 3 x = 27 nu are mai mult de un soluții în domeniul numerelor naturale.
d) între 1 și 1000, există cel puțin 50 de numere întregi pozitive.
f) Ecuația 3 x = 27, are unul și numai o singură soluție.
g) Numărul 60 este exact 10 divizori pozitive.
h) corespunzătoare fiecărui număr natural nu mai mult de un punct de pe axa reală.
u) Ecuația 3 x = 27 are cel puțin o soluție.
k) triunghi are cel puțin un unghi drept.
Rețineți că cele două declarații comune
Există cel puțin unul dintre x.
și
Nu există nici mai mult de x.
poate fi înlocuită cu una din urmatoarele:
Există unul și numai un singur x.
(Cf. declarațiile d), e), i)).

Cuvântul „și“ ne-am întâlnit la propunerea împărțirea numerelor naturale (în lucrarea scrisă a Claus). Cu acest cuvânt putem combina mai multe declarații separate, într-o declarație compus. Această conexiune se numește asociație sau declarații conjuncția. Să considerăm un exemplu.

Numărul 3 x satisface inegalitatea 2.

În această declarație două părți:
1) Numărul 3 x satisface inegalitatea 2 (dreapta).

Union (conjuncția) Extrasele vor fi adevărată dacă și numai dacă ambele părți din care este format, este de asemenea adevărat. În cazul în care una dintre părți este corectă, iar celălalt greșit, sau, cu atât mai mult atunci când ambele părți sunt greșite, asociația va fi greșit. De exemplu, declarația

1 este cel mai mic număr întreg pozitiv, iar 100000000000 este cel mai mare număr natural - greșit, pentru că a doua declarațiilor combinate - greșit.

Revenind la problema diviziunii întregi non-negative.
Divizarea unui. b în zona de întregi ne-negative este posibilă dacă numărul multiplu de b și b ≠ 0.

În acest caz, se aplică sau împreună și nu pot fi.

Este ușor de înțeles de ce profesorul nu a fost mulțumit de răspunsul Claus:
„Divide și. B, în zona de numere întregi non-negative, este posibilă în cazul în care dividendul este un multiplu al divizorului b, sau în cazul în care b nu este zero.“ De fapt, lasa, de exemplu, a = 15, b = 4, unde b ≠ 0; condiție formulată Klaus realizată, dar este imposibil să se împartă în mod egal.

Verificați-vă următoarele afirmații:
a) 461 · 07 februarie 3217 = 414. Și 6 = 54.
b) Fiecare triunghi nu are mai mult de un unghi drept, și cel puțin un unghi ascuțit.
APOS c) numărul 19 satisface inegalitatea 17 3. este divizat 2
exprimate sub formă de „Dacă A, atunci B“. Această propunere - dreapta. Prima parte a acestei propuneri (înainte de virgulă) este trimiterea (condiție), a doua parte - finalizarea (afirmația).

Inversarea premisa și concluzia, vom primi oferta convertit:
Dacă numărul este divizibil cu 2, atunci este, de asemenea, divizibil cu 3. 2 - o propunere - greșită.

Luați în considerare din nou justificarea dată de Hans și Klaus:
Hans. „În cazul în care suma de cifre este divizibil cu 3, atunci numărul în sine este divizibil cu 3“.
Klaus (convertiți teză scris): „În cazul în care numărul este divizibil cu 3, atunci suma de cifre este divizibil cu 3“.

Ambele propuneri au forma de „Dacă A, atunci B“. Cu toate acestea, nu se poate spune că au același înțeles (deși în acest caz, ambele propuneri sunt corecte); acestea diferă în mod semnificativ unele de altele.

Stare. Hans formulată după cum urmează: „Suma de cifre ale 3741111 este divizibil cu 3“.
De aici concluzia: „Numărul 3741111 este, de asemenea, divizibil cu 3“.

Klaus, dimpotrivă, se bazează pe condițiile. acest număr este divizibil cu 3, și se încheie. și că suma de cifre este divizibil cu 3.

Contactarea rostirea corectă poate fi adevărat, așa cum poate fi incorectă, așa cum sa arătat mai sus. Prin urmare, este întotdeauna important să înțelegem dacă această afirmație adevărată apel.

Dacă afirmațiile corecte este adevărat apel, ambele situații pot fi combinate folosind o cifra de afaceri „atunci și numai atunci, când“ (sau în alt mod „dacă și numai dacă“, „dacă și numai dacă“.

Astfel, numărul este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma de cifre este divizibil cu 3.

Acum formulăm tratamentul anumitor declarații și să verifice dacă acestea sunt corecte.
Dacă numărul este divizibil cu 6, iar apoi este împărțit la 2.
Manipulare:
Dacă numărul este divizibil cu 2, apoi se împarte la 6.

Este clar faptul că a doua teză este incorectă, deoarece, de exemplu, 14 împărțit la 2, dar nu este divizibil cu 6.

Se specifică propuneri adresate și verificați dacă acestea sunt corecte.
a) Dacă numărul este împărțit la 12, și este împărțit la 6.
b) În cazul în care părțile ABCM dreptunghi sunt egale, atunci ABCM dreptunghi - pătrat.
c) în cazul în care punctul P se află în interiorul triunghiului, acesta se află în interiorul cercului circumscris despre triunghiul.

În concluzie, câteva sarcini mai dificile. Verificăm să vedem dacă este adevărat că:
a) Un număr este divizibil cu 9 dacă și numai dacă este divizibil cu 3.
După cum știm, cifra de afaceri a „Atunci și numai atunci, când“ cuprinde atât propunerea în sine și tratamentul acesteia. Pentru a determina dacă propoziția în cauză este adevărat, este necesar să se verifice dacă ambele propuneri, din care este compus. Aici sunt două sugestii:

(A1), în cazul în care numărul este divizibil cu 9, de asemenea, este divizibil cu 3;
(A2), în cazul în care numărul este divizibil cu 3, iar apoi este împărțit la 9.

Evident, (a1) este adevărată, (a2) nu este adevărat. Prin urmare, declarația compus nu este adevărat.

Consideră-te următoarele sugestii:
(B) Cele trei unghiuri ale unui triunghi sunt egale dacă și numai dacă laturile sale sunt egale.
(C) Cele două numere au un divizor comun dacă și numai dacă ambele dintre ele - seara.
(D) număr este divizibil cu 4 dacă și numai dacă este divizibil cu 8.

„Nu totul.“ Și „ALL. NU“

Ne întoarcem la ultima eroare făcută de Klaus în lucrarea sa scrisă. Scopul a fost de a introduce, prin negarea unui viraj greșit în declarația este corectă.

Mai întâi observăm următoarele:
1. negare declarații incorecte logice conduce la rostirea corectă;
2. Din declarațiile reale folosind negație logică poate obține declarația greșită.

Forma negația următoarele propuneri:
(A) 247 - număr prim;
(B) 2 4 + 2 2 = 2 5;
(C), o mai mare de 7;
(G) Produsul de 17 · 11 - număr par;
(E), toate numerele prime - impare.

Propunerile negație (a), (b), (c), (d) poate fi formulată imediat:
(A „) 247 - nu este un număr prim;
(B „) 2 4 + 2 2 ≠ May 2;
(C „) și nu mai mult de 7 și mai mic sau egal cu 7, 7
(D „) Produsul de 17 · 11 - număr impar.

După cum se poate observa, negarea poate fi formulat în diferite moduri. Prin urmare, nu este atât de ușor pentru a da anumite drepturi pentru a produce negarea fiecărei declarații. Este posibil, totuși, să folosească cifra de afaceri de „Nu este asta.“ În fața declarației formulate anterior. De exemplu, spunând: „Nu este adevărat că toate numerele prime - impare“ declarații vor fi negarea (d) formulat în mod corespunzător. Și am intervievat studenți a formulat această negare ca:

Ralph. „Toate numerele prime nu sunt ciudat“;
Inga. „Nu toate numerele prime - ciudat“;
Petru. „Nici unul dintre numărul impar nu este un simplu“;
Bernd. „Există cel puțin un număr prim, nu un ciudat.“

Știm că declarația (d) este falsă. Prin urmare, negarea acestei declarații trebuie să fie adevărat. Dar puteți vedea că numai Inge și Bernd formuleze declarații corecte.

In loc de a spune, Ralph: „Toate numerele prime nu sunt ciudat,“ - puteți spune, de asemenea: „Toate numărul simplu - seara.“ Vedem imediat că această frază este greșit (cum ai spune Petra).

Răspunsuri Bernd și Inga sunt adevărate negație logică a spune „Toate numerele prime -. Ciudat“ În mod similar, este clar că negarea logică a instrucțiunii „toate numerele naturale au număr natural precedent“ nu ar spune: „Toate numerele naturale nu sunt precedate de numerele naturale“, dar „nu toate numerele naturale au număr întreg pozitiv înainte“ sau „Există cel puțin un număr natural care nu au număr natural precedent. "

Noi formulăm negarea următoarele afirmații incorecte:
(1) Pentru toate numerele întregi a, b este adevărat că a - b = b - a;
(2) Fiecare triunghi are două unghiuri obtuze;
(3) Toate romburi - diamante.

De exemplu:
(1 „) Nu toate numerele naturale a, b este adevărat că a - b = b - a;
sau
Există numere întregi pozitive a, b, ceea ce nu este adevărat că a - b = b - a;
(2 „) Nu orice triunghi are două unghiuri obtuze
sau
Există triunghiuri care nu au două unghiuri obtuze;
(3 „) Nu toate romburi - diamante
sau
Cel puțin un romboidală - nu un diamant.

În matematică, există, de asemenea, declarații despre existența. De exemplu:

Există cel puțin un dreptunghi, care este un pătrat.

Declarația cu privire la existența să fie respinsă de o viteză „nu există.“ IPT „ALL. NU.“.

De exemplu, negând declarații
Există un număr pozitiv, o satisface ecuația 13-17 = și pot fi:
EXISTĂ număr natural care satisface ecuația 13 - și - 17
sau
Toate numerele naturale nu satisfac ecuația 13 - și - 17.
Desigur, ultimele două afirmații au același înțeles.

Formulați propria dezmințire a declarațiilor (a) - (e). Care dintre aceste afirmații sunt incorecte?
(A) ecuația a · 0 = 17 are in domeniul numerelor naturale cel puțin o soluție;
(B) Toate numerele divizibile cu 17 - impar;
(C) Orice număr natural care satisface S2 b = b a;
(D) Cel puțin un triunghi echilateral - dreptunghiular;
(E) Toate diamantele - romburi.

„Repet condiția de la A și B se vor întâlni la același concediu de timp.“

Stai jos, o mare țară!

A fost un joc poetic.

Ceva despre roman Maestrul și Margareta Bulgakov.