ecuații neliniare cu o singură necunoscută

soluții numerice ale ecuațiilor neliniare în pachetul Mathcad

Scop. Ia-o idee despre metodele numerice utilizate funcții integrate pachetul Mathcad pentru rezolvarea ecuațiilor algebrice și transcendente și să învețe cum să folosească aceste instrumente.

Numărul orelor dedicate muncă. 1

informații teoretice Scurt

Pachetul matematic Mathcad are două funcții predefinite care execută soluția numerică a ecuațiilor neliniare - rădăcină și polyroots. Să luăm în considerare pe scurt tehnicile matematice care stau la baza funcționării acestor funcții.

Una dintre cele mai simple metode folosite încorporate rădăcină - metoda secant (metoda secant). În această metodă, calculele sunt efectuate prin formula iterativa

în cazul în care e - corectitudinea calculelor.

Metoda secantă dezvoltă ideea metoda lui Muller (metoda lui Muller). În această metodă sunt utilizate trei puncte anterioare pentru a găsi apropierea următoare. Cu alte cuvinte, metoda utilizează funcția de interpolare pătratică non-liniară, și. Formulele de calcul următoarea metodă:

Semnul de rădăcină pătrată este aleasă astfel încât valoarea absolută a numitorul este maximizată.

În cazul în care intervalul cunoscut, care este rădăcina, puteți utiliza alte metode de a găsi soluția ecuației.

Metoda Ridder valoarea functiei (metoda RIDDERS'), calculat în mijlocul intervalului. . Apoi, uita-te pentru funcția exponențială. satisface ecuația:

Această ecuație pătratică. soluția care poate fi reprezentat după cum urmează:

Apoi, se aplică metoda coardă, folosind valorile. . . și calcularea următoarei aproximarea prin formula

Brent (metoda Brent) Metoda rapidă metoda Ridder și metoda conectează intervalul de convergență garantată de împărțire în două. Metoda folosește o interpolare pătratică inversă, care caută x ca funcție pătratică y. La fiecare etapă a localizării rădăcinii este verificată. Metoda de Formula destul de greoaie, iar noi nu le vom da.

Metodele speciale sunt folosite pentru a căuta rădăcinile ecuații algebrice. O modalitate de a rezolva ecuatii algebrice este metoda de reducere a comenzii. Acesta constă în faptul că, după una din rădăcini se găsește, ecuația poate fi împărțită în. coborâre comanda lui înainte. atunci căutarea se repetă rădăcină. Luați în considerare două metode pentru a căuta rădăcinile polinoame.

Metoda Laguerre (metoda Laguerre lui) se bazează pe următoarele rapoarte pentru polinoame

Se crede că rădăcina. l căutăm, se află la o distanță de la abordarea actuală, în timp ce toate celelalte rădăcini sunt situate la o distanță b. ; . .

Apoi, ținând seama de relațiile avute în vedere pentru polinoame pot fi scrise

Exprimându acestor relații, de asemenea. obținem

Semnul de rădăcină pătrată este selectată, astfel încât numitorul are cea mai mare valoare.

matrici însoțitoare Metoda (matrice companion). Metoda se bazează pe faptul că valorile proprii ale unei matrice pătratică A. și anume astfel de numere l. pentru care egalitatea. Acesta poate fi definit ca rădăcinile polinomului caracteristic.

Se poate arăta că matricea

însoțitoare numit polinomul caracteristic matrice va fi un polinom de forma generală. Astfel, problema găsirii rădăcinilor unui polinom poate fi redusă la problema găsirii autovalorile matricei însoțitoare.

Soluția ecuațiilor transcendente

Pentru a găsi rădăcinile ecuației. în cazul în care - în funcție de orice fel, funcția rădăcină folosită. care are următoarea sintaxă

Funcția determină valoarea variabilei x. situată în intervalul. în care funcția este zero. În general, funcția poate fi o funcție de mai multe variabile. Într-o astfel de realizare funcția rădăcină utilizează algoritmi Ridder și Brent.

Funcția root poate fi accesat fără intervalul. dar în acest caz, variabila x trebuie să atribuie mai întâi o valoare de start (adică, setați aproximarea inițială). În acest caz, metoda intersectându pentru a clarifica rădăcină.

Precizia calculelor este definit în Mathcad built-in variabila TOL. În mod implicit, valoarea sa este egală cu 0,001. Această valoare poate fi modificată fie prin meniul Math / Opțiuni / Variabile încorporate, sau direct în text, de exemplu: TOL: = 10 -9.

Ca un exemplu, vom găsi rădăcinile ecuației. Pentru a începe descrie grafic al intervalului.

La un interval predeterminat de două ori funcție dispare, adică ecuație are două rădăcini. le rafinați cu ajutorul funcțiilor rădăcină cu precizie.

Practic, funcția rădăcină (f (x), x), trebuie să găsească o rădăcină cel mai apropiat de aproximare x inițială. Din păcate, acest lucru nu este întotdeauna cazul. Dacă este selectată apropierea inițială, și într-o valoare scăzută a derivatului în acest moment este aproape de zero, atunci este, în general, a găsit rădăcina nu poate fi cea mai apropiata de original. Ca un exemplu, pentru a alege propria lor rădăcină problema de a găsi ecuația. selectarea ca aproximare inițială a numărului de aproape. Mai aproape de valoarea selectată este, cu atât mai departe de la 0 la rădăcină vom primi.

Soluție de ecuații algebrice

polyroots funcția (a) găsirea toate rădăcinile unei ecuații algebrice. ale căror coeficienți sunt scrise în vectorul a. Primul element al vectorului corespunde unui coeficient de. al doilea - la etc. Funcția polyroots poate utiliza două rădăcini diferite ale algoritmului de căutare - metoda Laguerre și metoda de însoțire matrice. Metodele de comutare efectuate în meniul contextual care apare făcând clic pe butonul din dreapta al mouse-ului în timp ce indicatorul este setat la numele funcției.

Ca un exemplu, utilizarea funcției polyroots va găsi rădăcinile ecuației:

Rădăcinile Sarcina 1 Actualizare a celor două ecuații (Tabelul 1), folosind o funcție de rădăcină, cu o precizie de utilizarea acesteia în două variante constructive (specificând localizarea segmentului rădăcină și specificând o aproximare inițială). Pentru fiecare ecuație complot anterior funcția.

Sarcina 2. Găsiți toate rădăcinile unei ecuații algebrice dat (vezi. Tabelul 2).

Deoarece raportul de monitorizare prezentat de imprimare atribuirile de documente Mathcad.