Ecuația liniei în spațiu

Ecuația unei linii în spațiu.

Ca în avion și în spațiul respectiv, orice linie poate fi definit ca un set de puncte ale căror coordonate sunt într-un spațiu selectat sistem de coordonate satisfac ecuația:

Această ecuație se numește ecuația unei linii în spațiu.

În plus, linia în spațiu poate fi definit în mod diferit. Acesta poate fi considerat ca intersecția a două suprafețe, fiecare dintre acestea fiind definit de o kakim- ecuație.

Fie F (X .. y z) = 0 și F (X .. y z) = 0 - suprafețe de ecuații care se intersectează de-a lungul unei linii L.

Apoi, o pereche de ecuații

ecuația se numește linie în spațiu.

Ecuația unei linii în spațiul unui punct și

Să considerăm o linie dreaptă arbitrară și un vector (m. N. P), paralel cu o anumită linie. Vector numit ghiduri vector directe.

Pe linia avem două puncte arbitrare M 0 (x 0. y 0. z 0) și M (x. Y. Z).

pentru că vectori și sunt coliniari. raportul corect = t. unde t - este un parametru.

pentru că această ecuație este satisfăcută de coordonatele oricărui punct al liniei, ecuația rezultată - o ecuație parametrică a liniei.

Această ecuație vector poate fi reprezentat sub formă de coordonate:

Transformarea sistemului și egalează valoarea parametrului t. Obținem ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu:

Opredelenie.Napravlyayuschimi cosinusului directe se numesc cosinusului direcția vectorului. care poate fi calculat prin formula:

De aici obținem: m. n. p = cos a. cos b. cos g.

Numărul m. n. p se numește coeficienții unghiulare ale liniei. pentru că - un vector nenul, m. n și p nu poate fi zero în același timp, dar una sau două dintre aceste numere poate fi zero. În acest caz, ecuația ar trebui să fie egală cu numărătorilor corespunzătoare liniei zero.

Ecuația liniei în spațiu trece

prin intermediul a două puncte.

În cazul în care linia în spațiu pentru a nota două puncte arbitrare M 1 (x 1 y 1. z 1) și M 2 (x 2. y 2. z 2), coordonatele acestor puncte trebuie să satisfacă ecuația linie dreaptă obținută mai sus:

Mai mult decât atât, pentru punctul M 1 poate fi scris:

Rezolvarea acestor ecuații, obținem:

Această ecuație este o linie dreaptă care trece prin două puncte în spațiu.

Ecuațiile generale ale unei linii drepte în spațiu.

Ecuația liniei poate fi privit ca ecuația liniei de intersecție a două plane.

Așa cum sa discutat mai sus, planul în formă vectorială poate fi dată de ecuația:

- plan normal; - vectorul raza unui punct arbitrar al avionului.

Apoi ecuația generală a unei linii drepte în formă vectorială:

Ecuația generală a unei linii drepte sub formă de coordonate:

Sarcina practică de multe ori este de a aduce ecuația unei linii într-un mod general, la forma canonică.

Pentru a face acest lucru, găsi un punct arbitrar al liniei și numărul m. n. p.

În acest caz, vectorul de direcție al unei linii drepte pot fi găsite ca produsul vectorial al normalei la planul dat.

Exemplu. Găsiți ecuația canonică, în cazul în care linia este definită ca:

Pentru a găsi un punct arbitrar al liniei, se va lua de coordonate x = 0, atunci substitut această valoare în ecuații predeterminate.

Găsim componentele vectorului de direcție al liniei.

Apoi ecuațiile canonice ale unei linii drepte.

Exemplu. Conduc la ecuația forma canonică a liniei dat în forma:

Pentru a găsi un punct arbitrar al liniei, care linia de intersecție dintre avioanele menționate mai sus, vom lua z = 0. Atunci.

Obținem: A (-1, 3, 0).

vector direcție a unei linii drepte :.