Dovedește prin definirea limitei

3) Să ne determine ca $$ \ lim \ limits_ \ Frac = 2. ia în considerare diferența $$ $$ 2- \ Frac = \ frac. $$ Ne dorim ca această valoare a devenit modulo dat mai puțin arbitrar $ pozitiv% \ varepsilon $%, așa că scrie inegalitatea dorită, și va înțelege în ce $% $% x (suficient de mare în valoare absolută), acesta va fi cu siguranță mulțumiți. Este ușor de înțeles că inegalitatea $$ \ frac7 <\varepsilon$$ будет справедливо при $%|x+3|> \ Frac7 $%. Acest lucru înseamnă că $% x + 3> \ frac7 $% sau $% x + 3 <-\frac7$%. Каждое из этих условий нас устраивает. Если мы потребуем выполнения условия $%|x|> 3+ \ frac7 $%, proprietățile inegalitățile vor fi clar faptul că pentru $ pozitivă% x $% vor cu adevărat prima dintre condițiile (chiar și cu „marja“), iar pentru negativ - a doua condiție. Apoi, definiția limitei ar trebui să dovedească faptul.

a răspuns la 19 noiembrie '13 15:46

Dacă nu complica, scrie, te rog, cum este dovada necesității de a face, dar limita nu este egală cu un anumit număr, ca în acest exemplu, numărul 2, și infinit. Și va fi chiar mai bine dacă cele două rămase din exemplele mele, așa că înțelege cu siguranță cum și ce să facă. Multumesc anticipat :)

Este destul de simplu: lasa in exemplul 1, numărul $% x $% este suficient de mare - de exemplu, $% x \ ge5 $%. Apoi numitorul nu depășește $% $% 3x, iar numărătorul mai mult de $% x ^ 2 $%. Ea a împușcat în același timp, mai mult de $% x / 3% $. Asta a fost mai mult decât un număr dat $% M $%, suficient pentru a pune $% x \ ge3M $%. De exemplu, dacă $% x \ ge3000 $ valoare% din fracția este mai mult decât o mie, etc.

Exemplul 2 este de asemenea simplu. Luați în considerare valorile funcției de diferență și limita prevăzută. Get $% (x ^ 4-1) 2 (x ^ 3-1) $%. Noi singur afară factorul x $% $% - 1, si uita-te la ceea ce a mai rămas. Vor fi $% x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 + 2 (x ^ 2 + x + 1) = x ^ 3 + 3x ^ 2 + 3x + $ 3%, deși forma specifică nu este atât de important. Avem nevoie mai întâi să fi fost $% | x-1 | <1$%. Тогда $%x <2$%, и выделенный множитель меньше некой константы -- пусть это будет 100. Получается, что модуль разности $%|f(x)-a|$% меньше $%100|x-1|$%. Тогда требуем, чтобы было $%|x-1| <\varepsilon/100$%.