distribuția temperaturii constante în tija
distribuția temperaturii constante în tija.
Sarcina 14. Capetele unei uniforme subțiri lungimea tijei prismatic sunt menținute la temperaturi constante de suprafață și perimetrul secțiunii transversale a tijei sunt respectiv egale cu coeficient de temperatură ambiantă de conductivitate termică a tijei, în funcție de materialul, coeficientul de transfer termic de la arborele la mediul Find constant (m. E. Nu depinde timp), distribuția temperaturii în tija.
Decizie. Alegem originea la capătul din stânga al barei și direct axa x a axei tijei (Fig. 34). Izolează elementul infinitezimal al tijei între cele două secțiuni
Conform teoriei ipoteza de bază de conducta de căldură, fluxul de căldură prin elementul de suprafață, în direcția Ox sub temperatura reglată este proporțională cu pătratul scăderii vitezei și a temperaturii în direcția x - temperatura
(Semnul negativ este luat, deoarece căldura se transmite de la părțile fierbinți ale tijei la o mai puțin încălzit, astfel încât, atunci când temperatura T în direcția x scade, t. E. Când invers, când De aceea, cantitatea de căldură care trece prin prima secțiune x pe unitatea de timp este egală cu secțiunea transversală va trece prin a doua căldură de aceea, în cazul în care nu au nici un transfer de căldură către mediul înconjurător, ar fi întârziată cu cantitatea de căldură pentru elementul selectat
Conform legii lui Newton, cantitatea de căldură eliberată de elementul de suprafață la un mediu de temperatură T de temperatură în timpul proporțional cu suprafața (în acest caz, diferențele de timp și temperatură Această cantitate de căldură pe unitatea de timp este (noi credem rod atât de subțire încât transferul de căldură prin capetele pătrate ale tijei poate fi neglijată ) și este egală cu - calculată mai sus Asimilarea aceste valori între ele, obținem ecuația diferențială.
Dacă notăm vom ajunge la ecuația Cu soluția generală (vezi exemplul 1, punctul 11 ..):
constante arbitrare și de a defini condițiile la limită
și, prin urmare, o anumită soluție va
Partea dreaptă a mrzhno transforma, aducând-o la un numitor comun:
Astfel Braz, temperatura din tija este distribuită conform legii
Vom efectua un calcul numeric. lăsa
funcțiile hiperbolice din tabel este, prin urmare,
Pentru această funcție, puteți crea o masă și trage un grafic (fig. 35).
Investigarea T arată că este cel puțin mai puțin încălzită aproape de capătul tijei. Cea mai mare valoare a unei, mai clară va fi minim.
Când ecuația diferențială devine
soluția generală este o familie de linii drepte.
Să presupunem că temperatura ambiantă și se calculează cantitatea de căldură eliberată de mediul de bază per unitate de timp.
element de tijă cedează căldură într-o cantitate
și cantitatea de căldură eliberată de toate miezului precum
Pentru a rezolva problema 15. Problema 14, cu condiția ca temperatura la capătul din dreapta nu este setat.
Decizie. Este clar că cursul de rezolvare a problemei anterioare rămâne neschimbat până la elaborarea unor ecuații diferențiale și rezolvarea ei. Discrepanța apare doar în condiții limită, dintre care doar unul este păstrat, iar al doilea care urmează să fie stabilită. În acest scop, vom calcula cantitatea de energie termică livrată de către capătul tijei - și echivala-l la căldură cedată
mediu prin secțiunea a arborelui, avem:
Aceasta este a doua condiție limită.
Dacă vom diferenția acum soluția generală a ecuației și se înlocuiește în expresia T și valoarea lor în ultima condiția la limită găsim relația dintre știindu-se din prima condiție limită, constatăm din această relație și
În general, transferul de căldură prin capătul tijei este neglijată presupunând că neglijabilă în comparație cu transferul de căldură prin suprafața laterală a tijei.
Aceasta este echivalentă cu cea de a doua condiție de delimitare se crede, prin care aceasta ia forma:
Din această ecuație ne găsim:
și de atunci soluția particular are forma
Notă, de altfel, în cazul în care considerați că o tijă suficient de mult timp, este foarte aproape de unitate.
Să presupunem că temperatura ambiantă și se determină temperatura la capătul din dreapta al tijei, adică. E. La o soluție totală în acest caz, ar fi
Pentru a găsi constantele arbitrare ispolzusm condiții limită:
Prima condiție dă al doilea -
Temperatura la capătul din dreapta al tijei este obținută dacă în această formulă set
Noi calcula cantitatea de căldură eliberată de către tija în timpul unitatea de timp. Evident, este egală cu cantitatea de căldură care va avea loc în acest moment, prin intermediul secțiunii inițiale a tijei, după cum urmează:
Vom efectua un calcul numeric pentru a rezolva următoarea problemă.
Sarcina 16. Lagărul de temperatură constantă a arborelui la capătul arborelui, unde rulmentul depășește
temperatura aerului la 60 ° C Se calculează oră de căldură retrasă de-a lungul arborelui dacă lungimea arborelui de diametrul secțiunii arborelui cm, astfel încât cunoscut în continuare că
Decizie. Conform formulei găsite, în cazul nostru, iar cantitatea necesară de căldură
Problema distribuției temperaturii în tija este simplificată în mod semnificativ presupunând că tija semibounded, t. E. Are un capăt, de exemplu, din stânga și din dreapta se extinde la infinit. În acest caz, soluția generală a ecuației diferențiale
convenabil de a lua forma
și constante arbitrare pot fi determinate de condițiile limită
Din a doua condiție este ca. De fapt, dacă este cazul, iar multiplicatorul este, prin urmare, este necesar ca, atunci când acest lucru este posibil numai atunci când Revenind la prima condiție, găsim
Astfel, o soluție specială va avea forma
Acest rezultat poate fi folosit pentru a rezolva următoarea problemă.
Sarcina 17. Cele două tije rotunde lungi, din care una este ceva mai gros decât celălalt, la un capăt al temperaturii tijă este menținută Ambele sunt realizate din același material și ambele Compromisul căldură
temperatura aerului ambiant constantă Care va fi mai cald în unitățile de distanță de lungime de la capătul încălzit?
Decizie. Pe baza anterioare de a avea o lege de distribuție a temperaturii tijă subțire
(Secțiunea Rod perimetru aria secțiunii transversale unde - raza), și pentru o tijă groasă unde raza secțiunii transversale a unei tije groase).
și pune-l în același timp, înlocuindu-le prin expresii
Deci, ca exponent în partea dreaptă este pozitiv. Rezultă că partea dreaptă este mai mare decât una; mijloace
t. e. la o unitate la distanță de temperatura finală încălzită tijă mai gros peste temperatura de diluant.