diferența simetrică

Diferența simetrică a două seturi - operațiunea set teoretic, ceea ce duce la un set nou, care cuprinde toate elementele setului original, care nu aparțin simultan atât setul original. Cu alte cuvinte, în cazul în care există două seturi $A$ și $B$, diferența lor simetrică este unirea elementelor $A$, în afara $B$, cu elemente $B$, nemembru $A$. Scrisoarea pentru a desemna diferența simetrică de seturi $A$ și $B$ desemnarea $A\; \backslash \; bigtriangleup\; B$, Desemnarea mai puțin frecvent utilizate $Un\; \backslash ,\; \backslash \; dot\; \backslash ,\; B$.

definiție

Simetric diferență poate fi introdusă în două moduri:

• diferența simetrică a două seturi de date $A$ și $B$ - este un set de $A\; \backslash \; bigtriangleup\; B$, care include toate elementele primului set care nu sunt incluse în al doilea set, precum și elementele de-al doilea set, care nu sunt incluse în primul set:

$A\; \backslash \; bigtriangleup\; B\; =\; \backslash \; stânga\; (A\; \backslash \; setminus\; B\; \backslash \; dreapta)\; \backslash \; cup\; \backslash \; stânga\; (B\; \backslash \; setminus\; A\; \backslash \; dreapta).$

• diferența simetrică a două seturi de date $A$ și $B$ - este un set de $A\; \backslash \; bigtriangleup\; B$, care include toate elementele ambelor seturi, care nu sunt comune celor două seturi specificate.

$A\; \backslash \; bigtriangleup\; B\; =\; \backslash \; stânga\; (A\; \backslash \; cupa\; B\; \backslash \; dreapta)\; \backslash \; setminus\; \backslash \; stânga\; (A\; \backslash \; capac\; B\; \backslash \; dreapta).$

Conceptul poate fi generalizat la diferența simetrică a numărului de seturi, mai mult de două.

• Diferența simetrică este o operație binară pe orice boolean;
• Diferența simetrică face naveta.

$A\; \backslash \; bigtriangleup\; B\; =\; B\; \backslash ,\; \backslash \; triunghi\; \backslash ,\; A;$

• Simetrică diferență asociative.

$\backslash \; Stânga\; (A\; \backslash \; bigtriangleup\; B\; \backslash \; dreapta)\; \backslash ,\; \backslash \; triunghi\; \backslash ,\; C\; =\; A\; \backslash \; bigtriangleup\; \backslash \; stânga\; (B\; \backslash ,\; \backslash \; triunghi\; \backslash ,\; C\; \backslash \; dreapta);$

• Intersecția distributivă față de diferența simetrică:

$A\; \backslash \; cap\; \backslash \; stânga\; (B\; \backslash \; bigtriangleup\; C\; \backslash \; dreapta)\; =\; \backslash \; stânga\; (A\; \backslash \; capac\; B\; \backslash \; dreapta)\; \backslash \; bigtriangleup\; \backslash \; stânga\; (A\; \backslash \; capac\; C\; \backslash \; dreapta);$

• Vidă este un element neutru al diferenței simetrice:

$A\; \backslash \; bigtriangleup\; \backslash \; varnothing\; =\; A;$

• Orice restabilite la sine în ceea ce privește operațiunea diferența simetrică:

$A\; \backslash \; bigtriangleup\; A\; =\; \backslash \; varnothing;$

• În particular, operația Boolean cu diferență simetrică este un grup abelian;
• Boolean cu funcționare simetrică diferență este, de asemenea, un spațiu vectorial peste $\backslash \; Mathbb\_2.$
• În special, o operațiune de intersecție Boolean și setează diferența simetrică este unitatea de algebra.
• $\backslash \; Stânga\; (A\_1\; \backslash \; capac\; A\_2\; \backslash \; dreapta)\; \backslash \; bigtriangleup\; \backslash \; stânga\; (B\_1\; \backslash \; capac\; B\_2\; \backslash \; dreapta)\; \backslash \; subset\; \backslash \; stânga\; (A\_1\; \backslash \; bigtriangleup\; B\_1\; \backslash \; dreapta)\; \backslash \; ceașcă\; \backslash \; stânga\; (A\_2\; \backslash \; bigtriangleup\; B\_2\; \backslash \; dreapta);$
• $\backslash \; Stânga\; (A\_1\; \backslash \; cupa\; A\_2\; \backslash \; dreapta)\; \backslash \; bigtriangleup\; \backslash \; stânga\; (B\_1\; \backslash \; cupa\; B\_2\; \backslash \; dreapta)\; \backslash \; subset\; \backslash \; stânga\; (A\_1\; \backslash \; bigtriangleup\; B\_1\; \backslash \; dreapta)\; \backslash \; ceașcă\; \backslash \; stânga\; (A\_2\; \backslash \; bigtriangleup\; B\_2\; \backslash \; dreapta);$
• $\backslash \; Stânga\; (A\_1\; \backslash \; setminus\; A\_2\; \backslash \; dreapta)\; \backslash \; bigtriangleup\; \backslash \; stânga\; (B\_1\; \backslash \; setminus\; B\_2\; \backslash \; dreapta)\; \backslash \; subset\; \backslash \; left\; (A\_1\; \backslash \; bigtriangleup\; B\_1\; \backslash \; dreapta)\; \backslash \; ceașcă\; \backslash \; stânga\; (A\_2\; \backslash \; bigtriangleup\; B\_2\; \backslash \; dreapta);$

• În cazul în care rolul de „suma“ joacă operațiune diferența simetrică, precum și un „produs“ - intersecția seturilor. apoi seturi formează un inel cu unitatea. Și alte operații de bază ale teoriei set, diferența între asociație și poate fi exprimat prin ele:

$A\; \backslash \; cup\; B\; =\; A\; \backslash \; bigtriangleup\; B\; \backslash \; bigtriangleup\; \backslash \; stânga\; (A\; \backslash \; capac\; B\; \backslash \; dreapta),$ $A\; \backslash \; setminus\; B\; =\; A\; \backslash \; bigtriangleup\; \backslash \; stânga\; (A\; \backslash \; capac\; B\; \backslash \; dreapta).$

• Combinând cu intersecția diferența simetrică a două seturi este unirea dintre seturile de inițiale

$(A\; \backslash \; bigtriangleup\; B)\; \backslash \; cup\; (A\; \backslash \; capac\; B)\; =\; A\; \backslash \; cup\; B$

literatură