Definit, limitele de integrare, funcția integrală Dirichlet

Să o funcție y = f (x), definită pe intervalul [a, b], în cazul în care un

In fiecare dintre intervalele elementare [xk-1, XK] alege arbitrar un punct valoare xi k al funcției în acel moment se înmulțește lungimea delta xk segment, se obține produsul. Formăm suma tuturor acestor produse

Această sumă se numește suma integrală a funcției y = f (x) pe [a, b]. Notăm lamda, (k = 1,2, ..., n) din lungimea maximă a segmentelor elementare [xk-1, xk], adică X = lamda max delta xk.

Numărul S se numește limita sumelor integrale S, dacă pentru orice e> 0 există un număr b> 0 astfel încât lambda <б выполняется неравенство |Sn — S|

integral Definite a funcției y = f (x) pe [a, b] este o limită finită cantitate integrată atunci când numărul de intervale elementare este crescută în mod nelimitat, iar lungimea majoritatea lor se duce la zero. Certe de Integrala în probleme de matematica notate

f (x) se numește integrantul. x - variabila de integrare. a - inferior, b - limitele superioare ale integrării. În consecință, prin definiție,

Din definiția rezultă că valoarea integrala definită este independentă de simbolul variabilei de integrare, adică

Funcția pentru care nu există o limită a sumei se numește integrabile pe [a, b].

Evident că, în cazul în care p-TION f (x) este integrabilă pe [a, b], și este limitată în acest interval. Reciproca nu este adevărată: există funcții limitate nu este integrabilă. Acestea fac parte din funcția Dirichlet. egală cu unul din punctele raționale și zero, - în irațional. La orice interval [a, b], această funcție este limitată, dar nu și integrabile pe acesta.

Prin urmare, prin definiție,

unde f (x) - orice funcție;

unde f (x) - funcția integrabilă pe intervalul [b, a] (b

1. Dacă funcția f (x) este integrabilă pe [a, b], atunci este integrabilă pe orice interval [a, d], conținută în [a, b].

2. Dacă funcția f (x) este continua pe intervalul [a, b], și este integrabilă pe acest interval.

3. Dacă funcția f (x) este în intervalul [a, b] un număr finit de puncte de discontinuitate ale primului tip, este integrabilă pe [a, b].