Curs №15 inverse, reversibilitate
Curs № 15
Inverse, reversibilitate. Să - operatorul din interiorul și - domeniul de aplicare al definiției sale, și - gama sa.
Definiție 1. Operatorul se numește reversibil dacă pentru orice ecuație
Ea are o soluție unică.
În cazul în care operatorul este inversabil, atunci fiecare poate fi asociat cu un element unic, care este o soluție a ecuației. Operatorul care efectuează această corespondență se numește inversul și este notat cu.
TEOREMA 1. inversă operator liniar, este de asemenea liniară.
Dovada. Este evident că intervalul de valori, adică, domeniul operatorului este o varietate liniară. Să. Este suficient să se verifice egalitatea
Să. Prin liniaritate, avem:
Prin definiție, operatorul invers
de unde, înmulțirea ecuației cu respectiv și adăugarea, obținem
Pe de altă parte, (3) și definiția operatorului invers, rezultă că
că, împreună cu ecuația anterioară dă ecuația (2). Acest lucru dovedește teorema.
Operatorul invers Banach lui. Aceasta este o teoremă foarte importantă în teoria operatorilor liniari. avem nevoie de următoarele dovada acestei teoreme
Lema. Să - un set dens într-un spațiu Banach. Apoi, orice element nenul poate fi extins într-o serie
Dovada. Elementele vor construi alese secvențial, astfel încât
Este posibil, densă în. În continuare vom alege, astfel încât
și așa mai departe, este aleasă astfel încât
O astfel de alegere este întotdeauna posibil, densă în. Prin alegerea elementelor atunci când, adică seria converge. Estimăm norma.
Banach (operator invers). Să - mărginit operator liniar, unu la unu de cartografiere pe un spațiu Banach. Apoi, operatorul invers este mărginită.
Dovada. În spațiul, ia în considerare setul - un set de cele pentru care inegalitatea. Fiecare element al spațiului intră într-un anumit, și anume
Prin teorema lui Baer (a se vedea. P.57), cel puțin unul dintre seturile, spune ferm într-o minge. În interiorul mingea se va alege un înveliș sferic, cu centrul în punctul de; strat - un set de puncte pentru care deține următoarea inegalitate, în cazul în care. Trecerea strat, astfel încât centrul a ajuns la punctul, obținem un strat sferic
Ne arată că într-un set de strâns. Să; atunci
Amploarea nu depinde. pune
, unde reprezintă partea întreagă a numărului.
Apoi, prin (4), precum și faptul că aproape, rezultă că, în strâns.
Luați în considerare un element nenul arbitrar. Puteți alege întotdeauna astfel încât este, de exemplu, . Din moment ce densă, puteți construi o secvență care converge. Apoi, secvența converge. Este evident că, dacă, atunci, și pentru orice reală. Astfel, dens și în atunci.
Să considerăm elementul non-zero; el a dovedit Lema poate fi extins într-o serie pe elementele, și anume,
În seria spațiu format din originalele elementelor, adică elemente. Din moment ce avem inegalitățile
seria converge la un anumit element, și în care
Având în vedere convergența seriilor și continuitatea operatorului său poate fi aplicat la acest termen serie de termen, și anume,
în cazul în care. În plus,
și deoarece această estimare este valabil pentru toți, atunci operatorul este limitat. Acest lucru dovedește teorema.
Definiția 2. Fie - spații normate. Operatorul liniar care acționează dintr-un domeniu cu care reprezintă un colector liniar, numit închis. în cazul în care condițiile
, , rezultă că.
Este ușor de a arăta că fiecare operator mărginit este închis.
Luați în considerare mulțimea tuturor operatorilor liniari delimitate Maparea unui spațiu Banach într-un spațiu Banach. Acest set este el însuși un spațiu Banach în norma operatorului. Distingem într-un subset de operatori de cartografiere, la toate și având un invers mărginit. Acest set este deschis, adică, valabil.
Teorema 2. Fie și lăsați - orice operator de astfel încât. Apoi operatorul există și este mărginită, adică, .
Dovada. Reparăm un spațiu arbitrar și ia în considerare o cartografiere definită prin formula
(Vă rugăm să rețineți că există fix, și, avem de-a face cu o cartografiere neliniară). Din condiția ca maparea stors. De fapt,
în cazul în care. Având în vedere că spațiul este plin, există doar un singur punct fix:
Aplicarea operatorului la ambele părți ale acestei ecuații, obținem:
Dacă există - de asemenea, un punct fix, așa. Astfel, pentru fiecare ecuație, în cazul în care o soluție unică. Prin urmare, operatorul are un invers definit pe întreg spațiul. Apoi, teorema lui Banach asupra operatorului invers este limitat. Acest lucru dovedește teorema.
Teorema 3. Fie - spațiu Banach - operatorul de identitate, și - o cartografiere mărginit operator liniar o care. Apoi, operatorul este limitat și este reprezentat ca o serie de
Dovada. Existența și limitările operatorului rezultă din Teorema 2. Cu toate acestea, rezultă de asemenea din următoarele considerente.
Deoarece, atunci. Spatiul este plin, astfel încât convergența seriei implică faptul că suma seriei este un operator liniar mărginit. Pentru tot ce avem:
Trecerea la limită și faptul că obținem
în cazul în care. Acest lucru dovedește teorema.
Operatorii Adjoint. Luați în considerare un operator liniar continuu
arătând spațiul vectorial topologic într-un spațiu vectorial topologic. Să - funcțională liniară și continuă definită pe (adică). Aplicarea la elementul funcțional, vom obține, evident, o funcțională liniară și continuă pe:
Elementul funcțional are un spațiu, adică, . Astfel, ne-am asociat fiecare continuu funcțională liniară funcțională liniară, adică avem niște operator de
Acest operator se numește operatorul conjugat.
Notând valoarea elementului funcțional în simbol, vom obține că, sau
Această relație poate fi luată ca definiția operatorului Adjoint.
Exemplul 1. Spațiul dimensional operatorului conjugat. Să spațiul dimensional real este afișat în spațiul n-dimensional este un operator liniar, și lăsați - matricea acestui operator. Maparea poate fi scris ca un sistem de ecuații
și funcționalitatea în formă de
am înțeles. Deoarece, rezultă că operatorul este dat transpusa matricea matricei operatorului.
Următoarele proprietăți ale operatorilor de conjugat urmează imediat din definiția.
operator liniar.
.
În cazul în care - un număr, (numărul de valabilitate).
În cazul în care - un operator continuu de la, acesta este un operator continuu de la la. Această afirmație va fi dovedită în cazul în care ambele - spații Banach.
Teorema 4. În cazul în care - operator liniar mărginit maparea un spațiu Banach la un spațiu Banach,
Dovada. Prin proprietățile normelor de operator și funcționale, avem:
Locație, și anume . Să presupunem că, în continuare, și. Să. Este evident că. Prin investigarea teorema Hahn-Banach, există o funcțională liniară care, adică . din relațiile
obținem că, împreună cu inegalitatea inversă demonstrează teorema.
Operatorul în spațiu euclidian Adjoint. Conform teoremei privind forma generală a unei liniare funcționale în cartografierea spațiului Hilbert care asociază fiecare funcțională liniară
este izomorfism (sau conjugat izomorfism dacă complex)
spațiu pentru tot spațiul dublu. Apoi, putem într-un sens (izomorfism) să identifice și să. Acest lucru face posibil, în cazul în care nu mai ușor, cel puțin pentru a modifica definiția operatorului Adjoint și de a introduce conceptul de un operator autoadjunct.
Definiția 3. Fie - operator liniar de cartografiere un spațiu euclidian. Adjoint poate fi definit ca un operator care satisface pentru toți
Pentru că acum operatorii și să acționeze într-un singur și același spațiu în care este posibil egalitate. Evidențiați clasa importantă a operatorilor într-un euclidian (în special Hilbert,) spațiu.
4. Determinarea operatorului îngust liniar în spațiu euclidian, numit Adjoint în cazul în care, de exemplu dacă
Notă următoarea proprietate importantă a conjugatului operatorului operatorului.
Definiție 5. Un subspațiu al unui spațiu euclidian este invariantă în raport cu operatorul în cazul în care rezultă din aceasta.
Propoziția 1. Dacă subspatiului este invariantă în raport cu operatorul, atunci complementul său ortogonală este invariantă în raport.
Într-adevăr, în cazul în care, pentru tot ce avem:
În special, în cazul în care - un operator autoadjunct, atunci complementul ortogonal la oricare dintre invariante sale subspații în raport cu ea însăși.
Problema 1. Demonstrați că, dacă - delimitată operatorii liniari într-un spațiu euclidian, egalitati
,
,
,
, (- operator de unitate).
Spectrul operatorului. Rezolutiv. Ori de câte ori este vorba de spectrul operatorului, noi credem că operatorul acționează într-un spațiu complex.
Spectrum - cel mai important concept, nu numai în teoria operatorilor liniari. Mai întâi ne amintim semnificația conceptului pentru cazul finit-dimensional.
Să - operator liniar dimensional într-un spațiu complex. Numărul se numește valoare proprie, în cazul în care ecuația
Are o soluție nenulă. Setul tuturor valorilor proprii se numește spectrul operatorului și toate celelalte valori - regulate. Cu alte cuvinte, există un punct regulat în cazul în care operatorul este reversibil. Operatorul definit în ansamblu și, la fel ca orice alt operator din spațiul finit-dimensional este limitat. Deci, există două posibilități în spațiul finit-dimensional:
Ecuația are o soluție nontrivial, adică este o valoare proprie; operatorul în același timp, nu există.
Există un operator mărginit definit pe întregul spațiu, și anume, este un punct regulat.
Dar dacă - operatorul definit într-un spațiu infinit, atunci există oa treia posibilitate.
Operator există, și anume ecuație are doar soluția banală, dar acest operator nu este definit pe întregul spațiu (și, eventual nelimitat).
Introducem terminologia următoare. Numărul va fi numit regulat pentru operatorul într-un spațiu complex Banach, în cazul în care operatorul
numit un dizolvant, definit în ansamblu (și, prin urmare, limitată de teorema lui Banach asupra operatorului invers). Agregatul tuturor celorlalte valori se numește spectrul operatorului și marcat.
Spectrum fac parte toate valorile proprii, ca și în cazul în care, pentru unii, nu există. Setul tuturor valorilor proprii se numește spectrul punct.
Restul spectrului, adică set de cei pentru care există, dar nu este definită în ansamblu, este numit un spectru continuu.
Astfel, fiecare valoare este pentru operator sau regulate sau valoarea caracteristică, sau un punct al spectrului continuu. Posibilitatea unui spectru continuu al operatorului - o diferență semnificativă între teoria operatorilor în spațiul infinit dimensional a cazului finit-dimensional.
Să - operatorul mărginit care acționează într-un spațiu Banach. Dacă punctul este regulat, atunci operatorul este definit la toate limitate și, atunci când suficient de mică, operatorul este de asemenea definită în ansamblu și este mărginit (Teorema 2), adică punct este, de asemenea, regulat. Astfel, punctele regulate formează un set deschis. În consecință, spectrul, în plus față de punctul normal - închis.
Teorema 5. Dacă - delimitată operator liniar într-un spațiu Banach, și apoi - un punct regulat.
Dacă această serie converge și definește pe toți operatorul mărginit. Acest lucru dovedește teorema.
Cu alte cuvinte, spectrul operatorului este conținută într-un cerc de rază centrată la originea planului complex.
Exemplul 2. în spațiul funcțiilor continue consideră operatorul definit prin formula
Este evident că - mărginit operator liniar dacă
a introdus regula tradițională. Apoi, în cazul în care - operatorul de identitate, atunci
Permiteți-mi să vă reamintesc că atunci când este vorba de a spectrului de frecvențe, operatorul rezolvent, atunci avem de-a face cu spațiile peste câmpul numerelor complexe.
Inversabil la toate, din cauza egalității pe care o funcție continuă este identic egală cu zero. Cu toate acestea, operatorul invers, dat de formula
Nu este definită pe întregul spațiu și nelimitat. Astfel, spectrul operatorului (5) este un segment de pe axa reală a planului complex, în care valorile proprii sunt absente (dovedesc!), Adică există doar un spectru continuu.
Exemplul 3. Luați în considerare în spațiu secvență cu produsul interior
operatorul definit după cum urmează:
Acest operator nu are valori proprii. Într-adevăr, în cazul în care
ceva care este rezultă din faptul că, că operatorul nu are valori proprii. Operatorul este limitat, dar nu este definită pe întregul spațiu, și pe subspațiul, și anume, există un punct al spectrului acestui operator.
Problema 2. Are spectrul operatorului (6), altele decât orice termeni?
Problema 3. Operatorul rezolvent și punctele corespunzătoare și fac naveta regulat unele cu altele și să satisfacă relația
Dovedește, înmulțind ambele părți ale acestei ecuații de.