Cum de a rezolva ecuația Diophantine liniară

ecuația Diophantine - o ecuație algebrică a impus o condiție suplimentară, care constă în faptul că toate deciziile trebuie să fie un număr întreg. În general, ecuația Diophantine este dificil de rezolvat, și există mai multe metode de a le rezolva. Ultima teoremă este un exemplu celebru al unei ecuații Diophantine rămâne nerezolvată pentru mai mult de 350 de ani.

Cu toate acestea, ecuația Diophantine liniară de forma ax + de = c pot fi rezolvate relativ ușor prin utilizarea algoritmului descris în acest articol. Folosind următoarele metode, descoperim că (4.7) este o soluție pozitivă integrală a ecuației 31x + 8y = 180. Divizarea operare în aritmetică modular poate fi reprezentat ca o ecuație Diophantine. De exemplu, 12/7 (unitatea 18) impune soluția ecuației 7x = 12 (unitate 18), care poate fi rescrisă ca 7x = 12 + 18y sau 7x - 18y = 12. Deși unele ecuații Diofantine sunt prea complicate, citiți acest articol pentru a afla cum să rezolve cea mai simplă dintre ele.

pași Editare

Se înregistrează ecuația în următoarea formă: ax + de = c.

Se aplică la coeficienții a și b a algoritmului lui Euclid. Acest lucru se face cu două goluri. În primul rând, trebuie să stabilească dacă coeficienții a și b divizor comun. De exemplu, în cazul în care în fața noastră 4x ecuația + 10y = 3, observăm imediat că partea stângă este întotdeauna chiar și dreapta - ciudat, atunci există soluții sub formă de numere întregi pentru această ecuație nu există. În mod similar, rezolvarea ecuației 4x + 10y = 2, putem simplifica-l la 2x + 5y = 1. Și în al doilea rând, sub rezerva existenței unor soluții putem construi una dintre ele din secvența divizori obținută folosind algoritmul lui Euclid.

Dacă o. b și c au un divizor comun, simplifica ecuația prin împărțirea laturile sale stânga și dreapta prin acest număr. În cazul în care a și b au un divizor comun, care nu este uniform divizibil cu c. apoi se opri. În acest caz, ecuația nu are soluții întregi.

Desenați un tabel cu trei rânduri așa cum se arată.

Completați linia de sus a separatoare de masă, găsit de algoritmul lui Euclid. Figura arată cum va arata la 87x ecuația - 64y = 3.

Umpleți partea de jos două rânduri de la stânga la dreapta, după cum urmează: pentru fiecare celulă găsi produsul din aceeași coloană a celulei de sus și celula vecină la stânga. Înregistrați-celulă din suma acestui produs și valorile două celule situate pe partea stângă.

Uită-te la ultimele două coloane umplute înainte de sfârșitul tabelului. Ultima coloană trebuie să conțină valori a și coeficienții b (așa cum au fost în etapa 3). Dacă nu, verificați calculele. Penultima coloană va conține, de asemenea, două valori. In exemplul nostru, cu a = 87 și b = 64 cuprinde un număr de 34 și 25.

Rețineți că 87 * 25-64 * 34 = -1. Determinantul matricei 2x2 în colțul din dreapta jos al mesei va fi întotdeauna egal cu 1 sau -1. Dacă este negativ, se înmulțește ambele părți cu -1, și ai un -87 + 25 * 64 * 34 = 1. Acesta va fi punctul de plecare de la care vom construi o soluție.

Întoarceți-vă la ecuația inițială. Rescriem ecuația din etapa anterioară ca 87 * (- 25) + 64 * (34) = 1, sau 87 * (- 25) - 64 * (- 34) = 1, astfel încât aspectul său era mai aproape de ecuația originală. De exemplu, în cazul nostru, al doilea exemplu de realizare preferat, deoarece este potrivit pentru -64y membru atunci când ecuația inițială y = -34.

Abia acum este timpul să se uite la coeficientul constant c de pe partea dreaptă a ecuației. Ca și anterior soluția noastră a fost găsită ecuația ax + de = 1, multiplicând ambele părți ale acestei ecuații de c. Obținem o (cx) + b (cy) = c. Astfel, în cazul în care (-25, -34) este soluția ecuației 87x - 64y = 1, atunci (-75, -102) este o soluție de 87x -64y = 3.

Dacă o ecuație Diophantine are cel puțin o soluție, rezultă că are un număr infinit de soluții. Acest lucru se datorează faptului că ax + de = a (x + b) + b (y -a) = a (x + 2b) + b (y-2a), și, în general, ax + de = o (x + kb) + b (y -ka) pentru orice întreg k. Astfel, din moment ce (-75, -102) este o soluție de 87x -64y = 3, există alte soluții, cum ar fi (-11, -15), (53.72), (117.159), etc. O soluție generală poate fi scrisă ca (53 + 64K. 72 + 87K), unde k este un număr întreg.