Construirea unei baze Iordania

In spatiul Rn (Cn) este dat un j operator liniar, pentru care numărul # 955; Î R (C) este valoarea proprie.

Este evident că aceste subspatii sunt imbricate una în alta:

Dimensiune mi = dim Mi. Prin urmare, acestea sunt legate de:

Deoarece dimensiunile mi dimensiunea limitată a spațiului întreg n. secvența de dimensiuni este stabilizată, adică. e. pornind de la un anumit număr,

Relațiile corespunzătoare dețin pentru ei înșiși subspaiilor

Este ușor de văzut că subspațiul Mk reprezintă nimic altceva decât totalitatea tuturor celor și numai acei vectori x spațiu Rn (Cn), pentru care există s. că (j - # 955; e) s (x) = 0. Acest subspațiul se numește subspațiu rădăcină al j, corespunzătoare acestei eigenvalue # 955;. Am nota cu E # 955;. Acesta conține în mod evident eigenspace V corespunzător # 955; = M1. Se poate demonstra că dimensiunea subspatiului rădăcină E # 955; egală cu multiplicitatea valorii proprii # 955; ca rădăcină a ecuației caracteristice.

Subsetul Mi + 1 \ Mi eu numesc straturi. iar diferența (mi + 1 - mi) - grosimea stratului respectiv. Condițional poate pune M0 = 0>. Se poate demonstra că succesiunea straturilor de grosime descrește într-un sens liber.

Luați în considerare exemple. Lăsați operatorul matrice j în baza standard a spațiului R 8 este matricea

Deoarece aceasta este o matrice triunghiulară superior, ei diagonal reprezintă spectrul; astfel, intervalul matricei A (operator j) este S =.

Operatorul Matrix j este 2 matricea operatorului j 2. 3 - O matrice 3, etc. Să ne amintim că vectorul j (x), privit ca o matrice coloană, egală cu produsul matricelor A și x ..:

Prin urmare, pentru a găsi kernel (j - # 955; e) i = j i (# 955 ;! = 0) este suficientă pentru a rezolva sistemul omogen de ecuații liniare

Evident, rk A = 5, Rk A 2 = 3, 3 = Rk A 1 Rk A 4 = 0, astfel încât m1 = dim M1 = 3, m2 = 5, m3 = 7, m4 = 8. În acest caz, spațiu rădăcină E0 = M4 - acest întreg spațiu R 8. grosimile cele patru straturi formează o secvență slab descrescătoare

Acum vom găsi bazele subspatii M1. M2. M3. M4. Pentru aceasta vom da matricea A, A 2 și A 3 la forma principală eșalon:

În funcție de tipul matricei reduse, se poate scrie:

Noțiuni de bază pentru construirea unei baze Jordan. Începând cu stratul exterior M4 \ M3. M3 bază pentru a completa baza M4. În acest exemplu, este evident că vectorul va completa E8 vectorul. In general, pentru a găsi vectori complementare într-o matrice ale cărei coloane sunt vectorii de bază M3 subspațiul. și apoi toți vectorii baza subspațiu al M4 (adică baza standard R8 ..) (în mod necesar în această ordine), și dau la formularul principal eșalon:

În cazul nostru, construirea matricei este ea însăși un pas important. Vedere principal pas matricea ne arată că baza M3 poate fi extins la un vector bază M4 e8. (Primele șapte coloane corespund baza principală a subspatiului M3. Este a opta coloană corespunde unui vector e8.)

Așa că am găsit vectorii, din care valoarea este egală cu grosimea ultimului strat. Acești vectori formează un fragment viitor bază Jordan (în acest exemplu, vectorul este unic). În general bază Jordan va fi în fiecare strat cât mai mulți vectori ca grosimea ei.

Să ne introducă încă o definiție. Fie x - vector nenul arbitrar în eigenspace. Luați în considerare secvența de vectori:

Toți membrii acestui ordin, pornind de la un anumit număr, la zero, după cum rezultă din definiția subspatiului rădăcină. Dacă această secvență de toți vectorii nule arunca restul secvenței finale a seriei va fi numit. construite pornind de la (pornire) a vectorului x. Lungimea secvenței finale vom fi întotdeauna egal cu numărul stratului în care este vectorul nostru (în general, acest lucru nu este necesar).

Deci, acum trebuie să construim, deoarece fiecare dintre vectorii găsite care corespund unei serii care ne va adăuga la vectori, în viitor, baza Jordan. În exemplul nostru particular, vom construi seria, pornind de la un singur vector e8:

(De altfel, în loc de multiplicare A 2 e8 poate multiplica matricea A este deja găsită pe vectorul și Ae8 t. D.)

Am construit patru vectori de bază Iordania a viitorului - unul în fiecare strat. Acum vom trece la stratul următor (cu un număr mai mic). Dacă următorul număr strat de vectori deja construite este egală cu grosimea acestui strat (un strat I sun saturate), apoi du-te la stratul următor (cu număr mai mic), etc ... In acest exemplu, al treilea strat este un ciclu nesaturat (grosimea sa este egală cu două, și deja construit în ea o bază Iordania vectori). Acum trebuie să construim o bază de subspatiului M3. care conține baza de subspațiul M2 a găsit mai sus. și un vector j (e8). Pentru a realiza acest lucru, vom construi o matrice ale cărei coloane (în această ordine) sunt: baza de M2. j vector (e8), baza M3. și dau forma principală eșalon:

Ultimele șapte coloane ale matricei de viteză conține numai o singură coloană principală - a treia (ei). Aceasta corespunde (în construcția originală a matricei) vectorul e3. Deci, acesta este vectorul care urmează să fie adăugată la baza M3. și el va merge în jos, în viitor, baza Jordan. Acum, el a construi o serie:

Acești vectori sunt incluși în baza de construcție Iordania. Am construit deja șapte vectori de bază Iordania (din opt). Avem toate straturile devin saturate, dar cea mai profundă (M1). Pentru ao satisface, matricea construi, primele două coloane din care sunt vectori ai acestei deja construite stratul 3 j (e8) = A 3 e8 = 2 și j (e3) = e1. iar coloanele de baza subspatiului M1 merge mai departe. și dau forma principală eșalon:

Vezi de principalul pas cu matricea ne arată că este necesar să se adauge vectorului. Va fi o serie de un vector.

bază Iordania construit. Vectorii Lui trebuie să fie scrise într-o anumită ordine: un set de vectori trebuie să fie scrise într-un rând, dar în ordine inversă a construcției, începând cu bólshih puteri ale operatorului. Seria unele cu altele pot, în principiu, reordonate, dar condițiile de siguranță (și pentru ușurința de profesor de muncă de verificare) pentru a scrie seria în ordinea construcției lor. În cazul nostru, vom obține secvența:

Aceste opt vectori stocate în acest mod este baza Jordan dorit. Pentru a scrie acum matricea tranziției de la baza standard original construit Iordania, suficient de aceste opt vectori scrise ca o coloană a unei matrice pătratică (în aceeași ordine):

Acum trebuie să scrie tipul de matricea rezultată a Iordanului, adică. E. Matricea operatorului nostru construit în baza de Iordania. Pentru a face acest lucru, trebuie să ținem cont de faptul că fiecare a construit o serie corespunde unui bloc Jordan, a cărui mărime este egală cu lungimea seriei. În acest caz, lungimea seriei sunt 4, 3, 1 (ia serie neapărat în ordinea în care sunt scrise în baza de mai sus!). Prin urmare, matricea Jordan are forma:

În cele din urmă, pentru controlul calculelor noastre vom verifica că formula

care, după cum știm, este echivalent cu formula

Calculând obține ambele matrici:

Să considerăm acum al doilea exemplu, în cazul în care operatorul liniar dat de matricea

Diagonala această matrice triunghiulară reprezintă un spectru = S. Acum, construcția de subspatii Mi trebuie să faci pentru fiecare # 955;. Să începem cu # 955; = 0. De asemenea, este necesar să se construiască o matrice în grad, dar nu trebuie să aștepte atunci când acestea vor fi resetate (acest lucru nu se va întâmpla), și este resetat atunci când pătratul din stânga-sus a dimensiunii 4 de 4.

Calculele stop, t. Pentru a. Resetarea pătratul din stânga sus marimea 4 de 4. Numărul necunoscutelor libere din matricea redusă ne arată dimensiunea subspatii. Astfel, m1 = 2, m2 = m3 = ... = 4. Avem doar două subspații - M1 și M2. Mai mult decât atât, M2 este subspațiul rădăcină. Cautam baze ale acestor spații: Standard M1. e1. ; M2 bază. e1. e2. e3. e4. Combina într-o singură matrice și dă formă eșalon:

Deci, o parte din baza Iordaniei, corespunzător # 955; = 0, după cum urmează:

Rămâne să ia în considerare # 955; = 1. În acest caz, operatorul y - # 955; e = y - matricea corespunzătoare e

M1 subspatiu este unidimensională, baza sa format dintr-un vector u =. calcula acum

Calculele opri imediat ce piața din dreapta jos va reseta dimensiunea de 4 de 4. Am avut loc pe gradul al patrulea. Prin numărul necunoscutelor libere matrici reduse de dimensiune M1 definesc subspații. M2. M3. M4:

Prin urmare, avem toate cele patru straturi au o grosime de 1. Deci, atunci când vom găsi baza Iordania vectorul în ultimul strat și de a construi din ea o serie, am primit deja aproape toți vectorii bază Iordania (pentru # 955; = 1).

Pentru a găsi bazele vector construct M3 și M4 subspațiile:

În mod clar (și fără a face o matrice de mare), că este necesar să se adauge vectorul v. Astfel, vom obține seria:

Combinând cu seriile anterioare (și scriind vectori din fiecare serie, în ordine inversă), obținem o bază Iordania:

Această bază corespunde matricea de tranziție Jordan:

Note. 1. Nu te grabi aducerea matricele de grade la forma principală esalon. Deci, în ultimul exemplu (# 955; = 1), aspectul etape principale trebuie doar pentru a găsi bazele M3 și M4. Bazele M1 și M2 nu am fost nevoie, dar este nevoie de dimensiune a acestor spații, iar acestea sunt vizibile din orice etapă a formei (nu principal).

2. Matricea B - E și (B - E) 2 au fost ele însele decalate, acestea sunt, în general deja, nu va trebui să conducă (de mai sus este făcută numai pentru comunitate).

Construirea unei baze Iordania

Compilat Andreev Kirill Kirillovich