Condiționat (relativă) extremum

§ 8,19. Condiționat (relativă) extremum

În funcția de spațiu. Din punct de vedere geometric, această funcție reprezintă pătratul distanței de la punctul de start al dreptunghiular sistem de coordonate. Ea nu are cea mai mare valoare. Dar dacă este luată în considerare numai pentru punctele de elipsă, este clar că acesta atinge valoarea sa maximă la punctele (Fig. 101).

Astfel, funcția, considerat în întregul plan, are cea mai mare valoare, dar aceeași funcție este cu condiția ca este situat pe elipsa, are cea mai mare valoare (de două ori).

Această situație ne conduce la problema de a găsi extremum a funcției cu condiția ca argumentele sale să îndeplinească anumite restricții suplimentare. Deci, lăsați funcția dată

variabilele. Necesar pentru a găsi extremum funcției cu condiția ca variabilele sunt legate de

denumit în mod obișnuit ca și ecuațiile de constrângere.

Sistemul de ecuații (1) definește spațiul, în general vorbind, un set, pe care o numim suprafață.

O N o c e s e n e. Noi spunem că un punct care satisface ecuațiile (1), este condiționată locală (relativă) maxim (minim), în cazul în care un punct de cartier astfel încât acest cartier satisface ecuația de constrângere (1), următoarea inegalitate

Punctul local de condițională punct minim de maxim sau se numește condiționată locală extremelor (relativă).

În exemplul de mai sus este un punct de maxim local condiționată, din moment ce toate punctele situate pe elipsei.

Să ne clarificăm mai întâi problema condițiilor necesare la punctul a fost punctul relativ al extremelor locale. Să - punctul de optimizare și funcțiile constrânsă să aibă derivate parțiale continue și Jacobian

într-un cartier al acestui punct.

După cum știm, sistemul (1) este rezolvabil în ceea ce privește variabile într-un cartier de:

unde funcțiile au instrumentele derivate continue la punctul.

Substituind aceste funcții, descoperim că este o funcție numai de variabilele independente una de cealaltă:

Evident, în cazul în care condițională ajunge la un punct de extremelor locale, atunci când ajunge în punctul extremelor locale normale, sau, după cum a spus extremelor locale absolută, și vice-versa.

Dar apoi, după cum știm, egalitati

în cazul în care - diferențele ale variabilelor independente.

Un punct pentru care, având în vedere (1) (sau (3)) dețin (4) va fi numit un punct staționar al prezenței relațiilor (1).

Noi am demonstrat că la punctul a fost un punct de optimizare constrânsă locale, este necesar ca acesta este un punct de staționare în prezența de obligațiuni (1).

considerația noastră în continuare relevante pentru întrebarea cum să găsească punctul fix specificat, nu permite sistemului (1) în ceea ce privește variabilele, cu toate că existența funcțiilor ni le asumăm. Noi scriem împreună.

In virtutea invarianței forma primului diferențial ordin, condiția (4) este echivalent cu:

în cazul în care membrii diferențialele dependente sunt egale

Aceste diferențe de cu diferențe independente sunt legate de

pe care le primim de la ecuațiile de constrângere.

Astfel, punctul de staționare al prezenței relațiilor (1) poate fi determinată și un punct care satisface ecuațiile (1), că următoarea ecuație (5) pentru toți, pentru care egalitati (6) pentru ea.

Introducem - vectori dimensionale

În limbajul acestor vectori ecuației (5) și (6) poate fi scrisă în termenii produsului scalar

Am ajuns la un punct este un punct staționar în prezență de legături (1) dacă și numai dacă satisface ecuația (1), și dacă faptul că un vector este ortogonal gradientul, rezultă că este ortogonală. Dar în acest caz (explicația de mai jos) există un sistem unic de numere astfel încât

Reciproca este de asemenea adevărat. Dacă știți că, la unele numere pot fi reprezentate sub forma (7), t. E. În forma unei combinații liniare gradientilor, rezultă imediat că, de îndată ce orice ortogonale vector la gradienții, este ortogonală în mod automat.

Asigurați-vă că loialitatea față de afirmația inversă nu există nici o dificultate: (7) și (6 „), care

În ceea ce privește afirmația, ne referim la o teorema de algebră liniară. Toate dintre noi fac o explicație.

Să presupunem că un subspatiu liniar calibrat de vectorii r. E. Set de combinații liniare ale formei (7), care corespunde tuturor numerelor de sistem posibile. Noi introducem subspațiul vectori ortogonali, t. E. cuprinde toate vectori ortogonali, sau, echivalent, vectori ortogonali. Dacă ortogonal, apoi, înapoi la ortogonală, adică. E. cuprinde toate vectori ortogonali pentru. Așa cum am menționat la punctul staționar, gradientul este ortogonal tuturor vectorilor, ortogonale gradientilor, adică. E. Este ortogonal gradientul. Apoi, prin Teorema gradientul aparține, deci există o combinație liniară a gradienților combinație liniară unică, deoarece gradientele formează un sistem liniar independent. Faptul că matricea derivatelor parțiale ale funcțiilor

Este in vecinatatea rangului deoarece am presupus cele mai bune condiții (2), dar apoi rândurile acestei matrici definesc vectori (gradiente) care formează un sistem liniar independent.

Rezultă din cele de mai sus rezultă că punctul fix al funcției, în prezența legăturilor (1) poate fi determinată chiar și așa: este un punct care satisface ecuația (1), pentru care gradientul este o combinație liniară a gradientilor

Putem spune, de asemenea, acest lucru: la punctul

a fost stabilit pentru o funcție cu link-uri (1), este necesar și suficient ca numerele există pentru ea, pentru care egalitatea (7).

Deoarece rangul matricei (8), la un punct egal, că fiecare punct de staționare corespunde un număr de sistem unic, care satisfac ecuația (7). Ecuația (7) este echivalentă cu următoarele:

Funcția sub semnul gradient (9)

numit Lagrangianului, iar numărul multiplicatorilor lui Lagrange.

Scriem condițiile (9) în stare nepliată:

Problema găsirii prezenței legăturilor puncte staționare (1) a redus la soluția sistemului format din ecuațiile (1) și.

Pentru a găsi un punct de staționare

funcție în prezența relațiilor, este necesar să se facă funcția Lagrange și sistemul de ecuații (9 „) și de a rezolva acest sistem, în conjuncție cu ecuația de constrângere (1). In total vor ecuații cu necunoscute. În acest sistem, și să dea o decizie cu privire la punctul, care este un punct de staționare. Puncte extremelor locale sunt printre punctele staționare condiționate. Clarificarea întrebarea dacă ar fapt punctul punctul staționar de optimizare constrânsă, este efectuată în mod convenabil prin tratarea a doua diferențialul Lagrangianului. În clarificarea semnului trebuie să se considere că diferențele depind de diferențele.

EXEMPLU EXEMPLU. Să planul dat cifra delimitat de axele de coordonate și unei parabole. Fit care este în această figură un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de coordonate, unul dintre nodurile acestei parabole, astfel încât suprafața dreptunghiului era cea mai mare (Fig. 102).

R e w n e Fie u -. Coordonatele Vertex. Apoi zona dreptunghiului. Mai mult, din moment ce se află pe punctul de parabolei, atunci coordonatele sale trebuie să satisfacă ecuația parabolei. Prin urmare, trebuie să examinăm funcția extremelor condiționată în prezența comunicării. Funcția Lagrange. Noi găsim punctele de staționare a sarcinilor ecuațiilor

Rezolvarea acestui sistem, vom găsi că. Astfel. Punct fix și corespunde multiplicatorul Lagrange. Noi investigăm punctul de staționare al doilea Lagrangianului diferențială

în cazul în care ultimii doi termeni pe partea dreaptă, deoarece există diferențe de și independente și, în general vorbind. Cu toate acestea, la punctul de staționare.

Dacă presupunem, și diferențialele ale variabilelor independente, nu este un semn sigur. Cu toate acestea, din constrângerea ecuațiile se poate observa că la punctul. Astfel,

și, în consecință, incrementul funcției în punctul corespunzător incremente este mai mică decât zero (). Prin urmare, funcția este maximă condiționată locală.

Deci, din toate dreptunghiurile de mai sus formează cea mai mare suprafață a unui dreptunghi cu laturile.