Calculul Tensor pentru manechine

Studiul relativității generale (și de construcții - la un nivel adecvat) îngreunate aparat matematic special: tensori. Eu cred că, odată cu Tensorii tine rău? Turbiditate un subiect ...

Aici am încercat să dau informații de bază, care ar trebui să ajute să înțeleagă textele fizice. Se presupune că cititorul are un fundal în cadrul colegiului tehnic, ceva de la Institutul de matematică își amintește (și de fizică, de asemenea). Dar, desigur școală, din păcate, nu suficient.

Este de așteptat disponibilitatea de a adopta noi atitudini, noi abordări neobișnuite. Sau pur și simplu dorința de a înțelege. Pentru că ar lua o mare cantitate de reacordare a creierului!

Cititorul nu va găsi aici din motive rigoare și exhaustivitate, lăsați-le să matematicieni. Am vrut să prezint subiectul cât mai mult posibil accesibile - cum se spune acum, pentru „Dummies“. Din păcate, obiectul în sine este complicată, și face o greșeală cel care decide ce poți învăța materialul, nu deranjează gânduri de lucru proprii.

Ilustrațiile sunt, de asemenea, având în vedere utilizarea pe scară largă a tensori, în unele secțiuni ale fizicii teoretice. Ele nu sunt în nici un fel ar trebui să fie considerată ca o declarație exhaustivă a fizice - de fapt, există tutoriale!

Introducere

Scriem cunoscuta formula exemplară școală legea lui Newton cu vectori de forță și de accelerație:

Desigur, putem considera ca o abreviere a trei ecuații:

De fapt, există ceva mai mult. Prima ecuație - este invariantă de înregistrare. Spre deosebire de forma non-invariant. prin componentele vectorilor. Ce înseamnă acest lucru?

Formularul invariant nu se schimbă atunci când trecerea la alte coordonate. In timp ce F x. F y. F z. o x. un y. z dependent de coordonatele primite.

ecuații fizice record în formă invariantă este mai „corectă“! Deoarece legile naturii nu poate depinde de alegerea arbitrară, aleatorie a sistemului de coordonate. De altfel, forma invariantă nu conține informații explicite cu privire la dimensiunea (inclusiv măsurători) spațiu - această dimensiune ar trebui să fie implicată în alt mod.

Până în prezent, am reușit să înregistreze multiplicarea invariantă a unui vector cu un factor de m. Nu de mult, se pare că ... Pe celelalte operații (cum ar fi produsul scalar) au deja dificultăți. Mai ales atunci când vectorii de a trece la obiecte mai complexe. Este nevoie de tehnici speciale. Și ei trebuie să învețe.

Tensor - care îndeplinește cele trei puncte:

1) este o reprezentare matematică a unui obiect (geometric sau fizic), existente într-un spațiu în formă de valori de masă - componente tensor;

2) Valorile componentelor depind de sistemul de coordonate adoptat și modificat (convertit) la trecerea la alte coordonate;

3) componenta de conversie este de așa natură că frunzele, cu toate acestea, unele magnitudine constantă specială - invarianți.

Astfel, tensorul este un tabel sau o matrice de numere întregi (componente, în funcție de Ko selectat

ordonata). În același timp, sarcina de calcul Tensor - pentru a dezvolta o formă de înregistrări tensoriali pentru a face fără a tabelelor de componente. Adică, forma invariantă. care

Cu toate acestea, vă permite să înregistreze orice operații (invariante) pe tensori.

Pentru a începe cu vector

Un exemplu particular este vectorul și tensorul. care vede în mod obișnuit bețișoare ceva, ascutiti la un capăt. Cu toate benzi desenate o astfel de reprezentare, este într-o anumită măsură, chiar și util. Este clar că vectorul este dintr-o bucata, obiect independent. Indiferent de modul în care ne reprezintă matematic.

principiul integrității, în general, orice tensor poate părea banal ... dar vom vedea că din ea derivă investigație specială.

Oricum, în timp ce observăm că vectorul are un obiectiv de lungime.

Vector luate în considerare în spațiul. Spațiul se caracterizează prin numărul de măsurători. pentru o anumită clasă de probleme.

Nu avem nici o îndoială că în spațiul operațiunilor vectoriale sunt introduse: adăugarea de vectori și multiplicarea unui vector de un număr.

In trei dimensiuni, luați în considerare trecerea de la punctul A la punctul B. De obicei, este reprezentat printr-un vector, adică un segment de linie direcționat de la A la B. Aceasta se numește vectorul x deplasare (vector geometrică regulată). Cu toate acestea, se crede că vectorul nu modifică transferul paralel.

Evident, cu adăugarea deplasării - deplasarea rezultantă (suma vectorială) este determinată de o regulă paralelogram cunoscută.

Trebuie să fie în măsură să producă cu obiect (vector) operațiunea noastră - utilizare

algebra vector. Pentru acest sistem de coordonate este introdus. sau bază.

În spațiul (pentru moment l-am asuma în trei dimensiuni), vom alege trei vectori e 1. e 2. e 3. Acest lucru va fi vectorii unitate. sau porturi. Condiție sine qua non: Porturi neliniare

dependente. Acest lucru înseamnă că nici unul dintre ele nu poate fi reprezentat ca o combinație liniară a celorlalți (acest lucru ar fi, în cazul în care cei trei vectori situată în același plan).

Este ușor de arătat că orice vector x poate fi reprezentat în mod unic în forma: e 1 x x 1 x 2 x 3 e 2 e 3. adică, ca o combinație liniară a vectorilor de bază. coeficienţii

(1 x x x 2. 3) este componenta vectorului x în baza primit. Dacă preferați, puteți apela coordonatele lor vectoriale.

Notă: superscript - acest lucru nu este exponenții și indicii pur și simplu! Apoi, pe parcursul primului grad, pentru că noi facem transformări pur liniare.

Având în vedere reprezentarea componentelor vectorului va fi adesea în continuare notat cu tipul: (x 1 x 2 x 3), sau, pe scurt, x i.

Toate amintit, desigur, că operațiunea cu vectorii sunt reprezentate în coordonate ca: x y (x 1 y 2 x y 1. 2. x 3 y 3) - adăugarea de vectori

o x (ax 1. ax 2. ax 3) - multiplicarea vectorului de un număr.

Tensor este un tabel de valori și un vector, în special - de asemenea. Deci, pentru ei este o reprezentare matrice naturală, uneori, este convenabil să atragă. Desigur, vectorul este o matrice coloană și o matrice rând. Astfel, vectorul x i (x 1 x 2 x 3) matrice poate fi reprezentat prin:

Este util să amintim cel puțin conceptele de bază legate de matricile - acestea continuă să fie utile.

nu matrice menționează cititori entuziaști. Dar ele sunt necesare doar în stadiul de studii de fezabilitate, și, de fapt, ideea este de a face fără ele.

Revenind la alte coordonate

Dacă vom alege o altă bază (de exemplu, rotiți axele de coordonate), componentele vectorului se schimbă. Desigur, noi componente (x „1 x“ 2. x „3) poate fi exprimată prin prezh-

de (x 1 x 2 x 3), dacă cunoaștem unghiurile axelor de rotație. Sarcina pare a fi destul de greoaie, sinus și cosinus ... În general, așa cum este simplu:

Cu toate acestea, nu este clar care sunt factorii ... Dar vestea bună este că nu vom fi aici să întreb despre expresiile specifice. Este suficient să se aibă în vedere că ele există și sunt cunoscute (ele pot fi îndepărtate sau din literatura de specialitate).

Cel mai important lucru: orice obiect ale cărui componente sunt transformate în conformitate cu (1.1), este un vector. Și dacă nu - nu este. Deși el a fost reprezentat de trei numere!

Notă: în cazul în care într-un sistem de coordonate, toate componentele vectorului sunt zero, ele zero in orice alt sistem! Același lucru este valabil pentru toate tensori.

Lungimea vectorului în coordonate carteziene

Dacă avem o cartezian, care este ortogonal (sau mai precis - ortonormală) sistem, lungimea vectorului x geometric (pătrat său) este exprimată în termeni de componente într-un mod convențional prin teorema lui Pitagora coordonate:

x 2 (x 1) 2 (x 2) 2 (x 3) 2.

Deuce din ecuație aici reprezintă exponentul deja, desigur.

La trecerea de la o altă bază, atunci când valorile componentelor schimba, lungimea trebuie să rămână aceeași. La urma urmei, acesta este de fapt un atribut al vectorului! În acordul nostru, nu poate depinde de alegerea coordonatelor. Ei spun că lungimea tranziției este invariantă în raport cu celelalte coordonate; vector este invariant.

În esență definește cerințele pentru coordonate formulele de transformare, adică la matricea însăși o coeficienți ik. valorile lor nu poate fi arbitrară!

Probabil încă de la școală în mod normal, scufundat în memorie: valorile sunt împărțite în scalară și vector; tot ceea ce nu este un vector, scalar.

Calculul tensor este, de asemenea, un tensor scalar (cel mai usor - rang zero).

Acest număr este invariantă, nu se schimba la alte coordonate. aplicabil

TION a vectorului, lungimea - scalar clasic. În continuare, vom afla că scalari sunt obținute ca rezultat final al convoluție tensori.

Oricare dintre componentele vectorului - numărul. Și nu un vector scalar ... Dar nu este, de asemenea, luate în considerare: deoarece această valoare nu este normal.

Permiteți-mi să vă reamintesc despre conceptul de produs scalar a doi vectori. Este exprimat în termeni de coordonate, după cum urmează:

xy x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3.

Strict vorbind, lungimea pătrat vectorului - este doar produsul său scalar

a (așa-numitul pătrat scalar).

Notă: acceptăm că există un produs scalar, și are unele proprietăți notabile! Acest spațiu se numește euclidian.

Produsul scalar este invariantă (ca orice scalar). La urma urmelor, are un sens geometric, independent de reprezentarea de coordonate: produsul dintre lungimile vectorilor și cosinusul unghiului.

Acum sunteți pregătit pentru a înțelege sensul în care vorbim despre invariante

vector antnosti, și într-adevăr, orice tensor. Ideea că tensorul este ceva holistică

NYM, are ca rezultat o declarație privind invarianta lui sub transformări de coordonate, ținând cont de toate lucrurile pe care le cunoașteți deja.

Desigur, afectate sunt încă întrebări par cunoștințe banale, comune. Dar acum - un avertisment important. Următorul paragraf, deși orbiți (elementar de fapt), necesită o lectură atentă a cheie el pentru a înțelege totul.

Dreptunghiular coordonează acest caz este încă specială. Sistemul de coordonate poate fi, de exemplu, oblic (nu ortogonale vectori unitate). Este clar că formula pentru pătrat scalar va fi mai complicat decât (1.2). Cu toate acestea (și aici, din nou, vestea cea bună!), Noi nu o să-l retragă. Suficient pentru a scrie în termeni generali:

x 2 g 11 (x 1) 2 g 22 (x 2) 2 g 33 (x 3) 2 g 12 x 1 x 2 g 13 x 1 x 3 g 23 x 2 x 3 g 21 x 2 x 1 g 31 x x 3 1 x 32 3 g x 2.

De ce acest lucru? Da, doar din considerente dimensionale - este forma pătratică! Unii factori de g ik depind de specificul sistemului de coordonate.

Desigur, puteți aduce termeni similari, iar termenii vor apoi 6, și 9 nu sunt ... Dar noi, dimpotrivă, să introducă în mod specific de la simetrie g ik g ki. asa ca va fi mai convenabil.

Acum putem scrie același lucru un pic diferit:

x 2 (g 11 x 1) x 1 (g 22 x 2) x 2 (g 33 x 3) x 3 (g 12 x 1) x 2 (g 13 x 1) x 3 (g 23 x 2) x 3

Surpriza: formula (1.3) suntem familiarizați cu - produsul scalar din nou! In cazul coordonatelor carteziene este pătratul produsului scalar aceeași. Și aici, pentru cazul general - produsul scalar al vectorului x i pe ... ce? Într-un alt vector x i (x 1 x 2 x 3). Se numește covector. adică dual vector.

Covector este, de asemenea, un vector - un fapt, în general, nu este evident ... Cu toate acestea, este. Datorita muncii sale cu vectorul - scalar (pătrat scalară). În general, operațiunile liniare cu tensori duce la tensori aceleași!

Dar să: (1.4) știm, de asemenea, că formula de transformare de coordonate, le compară cu (1.1). Se pare (surpriza din nou) covector - nu este diferit, dar același vector x. Dar numai reprezentat într-un alt sistem de coordonate (numite uneori dublă).

Deci, ați luat cunoștință cu truc principal de calcul tensor.

Și ce fac ei

In mod clar, în ambele reprezentări sunt ortogonale bază vectorii x i și x i sunt aceleași (adică

există componente identice). Sistemul dual de coordonate aici este pur și simplu coincide cu directorul. Și doar în cazul general, componentele vor varia.

Dar atunci, s-ar părea, construcția de mai sus, deși curios, dar nu este necesar. Doar sunt de acord să folosească coordonate carteziene!

Din păcate, acest lucru nu este întotdeauna posibil. De exemplu, în spații curbate grila de trecere de linii paralele nu pot fi peste tot la unghiuri drepte. Ele nu pot exista linii paralele! (Să considerăm, de exemplu, pe suprafața bidimensională a unei sfere, unde „linii“ sunt cercuri mari). Și un astfel de spațiu artistic întâlnite în fizică.

Secțiunile încă așteaptă în fața ta, trebuie doar să se concentreze pe utilizarea aparatului tensorului în anumite domenii ale fizicii.

1-2. Concepte de bază de calcul tensorial

La sfârșitul secțiunii precedente, am găsit o modalitate de a scrie invariantul (pătrat scalar) într-o formă invariantă. De fapt, formula noastra x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 - în lyu-

luptă sistem de coordonate arată la fel - amintesc cele două surprize? Transformarea coordonatelor are ... dar nu contează cât de ascuns. În continuare, trebuie să ne asigurăm că, în cazurile mai complexe sunt, de asemenea, ușor de realizat sub formă de înregistrare simplă. În această simplitate și este ideea principală.

Cu toate acestea, o astfel de simplificare vizibilă se realizează la costul introducerii diferitelor tipuri de reprezentare a aceluiași vector. Aceasta este exact ceea ce definește diferit plasarea indicelui: partea de sus sau de jos - Acestea sunt numite contravariant (Si probabil va intrebati de ce?)

Noe și reprezentarea covariant.

Covariant și contravariant

Unul și același vector poate fi scris în covariantă și contravariant în

Componente -invariant. De obicei, unele dintre ele sunt luate în considerare pentru vectorii naturali. Aceasta se aplică în acele coordonate care sunt inerente în sarcina.

Coordonate vector geometric (vector de mișcare) sunt Este natural

contravariant guvernamentale. vectorul Contravariant notat în forma x i. adică, cu indicele de la partea de sus.

Componentele vectorului contravariant sunt modificate ca și în cazul în care schimbarea opusă vectorilor de bază (de unde și numele). Aici este un exemplu de explicativ primitiv. Să presupunem că ne-am mutat de la un sistem de coordonate la altul - astfel încât:

x 'kx 1 1. x' x 2. 2 x „3 x 3 (k 1).

Pune pur și simplu, ne-am schimbat domeniul de aplicare al primei axe, făcându-l mai mic. nou

unitatea de lungime pe axa a scăzut, și este una dintre cele vechi. A k HO- corespunzătoare

componentă a vectorului Du-, dimpotrivă, a crescut cu k ori - ca și în cazul în care axa scara opusă. Acest lucru este contravariance.

Pentru un vector covariantă opusul ... Dar vom discuta mai jos.

În timp ce același vector de deplasare pot fi scrise în formă covariantă: x i. Componentele sale de covarianță x 1. x 2. x 3 - care nu e baza problemei noastre. A

în alt (dublu) sistem de coordonate. Știm doar cum să-l naviga: prin coeficienții g ik. Și pentru că o astfel de tranziție să păstreze în minte, ne-am lăsa în spatele scenei.

Calculul tensor sa născut în mijlocul secolului al XIX-lea, dar nu a fost foarte în vogă. Recunoașterea lui adevărată care le-a primit în legătură cu teoria generală a relativității a lui Einstein, care nu se poate afirma altfel decât în ​​formă tensor.

regula lui Einstein permite introducerea mai ușoară a multor expresii tensoriale.

În conformitate cu această regulă, expresia pătrat scalar este scris compact:

x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x i x i.

Regula este că indicele, are loc de două ori (o dată pe partea de sus și o dată la partea de jos) însumare. Adică, a i b i - este pur și simplu o scurtare a perioadei

Expresia intrare: a i b i. Aici, indicele i (valorile 1, 2, 3) este mut:

în expresia rezultată el nu a fost inclus - ca și în cazul în care „a scăzut.“ În astfel de cazuri noi spunem că convoluția efectuat. Detalii despre aceasta va fi mai mic.

Vectorii Despre covarianță

În spațiul definit câmpul scalar. Constructul derivate parțiale:

Aici, k este un indice fals (care nu se încadrează în rezultatul).

2) g ik este tensorul simbolul covariantă rang. în al doilea rând -

pentru că cei doi indici. Covariant - pentru că indicii de mai jos. Și în partea de jos, pentru că există o regulă: Duplicate indexuri trebuie să alterneze (sus - jos). Atunci când combinarea covariant și componentele contravariant convertirea lor reciproc legi „redus“.

3) Rezultatul este un vector covariantă (i mai jos), deoarece indicele de dreapta i este covariantă.

4) Numărul de dimensiuni ale spațiului (numărul de valori, care trece prin indicele de însumare) sunt vizibile în mod clar, și ar trebui să rezulte din contextul problemei.

5) Prin urmare, în conformitate cu (1.5a) vor înțelege trei formule i 1, 2,3:

Dar toate aceleași resturile din spatele scenei ca formă noninvariant, din care ne-am ear-

operațiune tensor. produs

Poate plus componenta Înțelept a tensori de aceeași structură, multiplicarea numărului - în acest particular nu va fi amânată. spațiu tensor, la fel ca în cazul vectorilor, liniar cred, că este rezultatul acestor operațiuni va fi din nou un tensor.

În general, trebuie să țină cont de două operații de bază cu tensori: supra-

multiplicarea convoluție. Aceste operațiuni conduc la peste tensorilor tensori același.

Aici este o ilustrare a produsului tensorial: