Trasarea locul radacinilor - studopediya
In majoritatea cazurilor, ecuația caracteristică a sistemului studiat este reprezentabile sub forma
și în care polinoamele ale variabilei complexe s. - un parametru, pe care o vom numi o variabilă în viitor. (Acest parametru poate fi, de exemplu, prin transfer coeficient k sistem deschis).
Traiectoriile care descriu rădăcinile ecuației caracteristice pe planul S atunci când modificarea parametrului de sistem de la 0 la ∞ sunt numite locus rădăcină. Trasarea rădăcina locus ne permit să se calculeze efectul asupra caracteristicilor de stabilitate și dinamice ale schimbării sistemului în parametrul variabil.
Cu ecuația caracteristică (1) cu zerouri cunoscute sale polinoame constitutive L (e) și D (e) poate fi aproximativ pe planul S locusului construi rădăcină.
În acest scop (1) este rescris ca:
Având în vedere că s - variabilă complexă, (2) poate fi scrisă sub forma a două ecuații: ecuația argumentelor
și ecuația modulelor
Reprezentarea sub formă de:
și în care - coeficientul de cel mai înalt grad s,
. - zerouri de polinoame și,
m și n - ordine și polinoame.
Argumentele Ecuația (3) poate fi rescrisă sub forma următoare:
Din expresia (5): planul punctului S s apartine locul radacinilor, în cazul în care suma vectorului argument de zerouri
(Cele de mai sus este prezentată în Figura 1)
În această figură, desemnate de argumentele vectorilor extrase din pol
Pe baza expresiei (5) se pot formula următoarele reguli de bază pentru construirea locus rădăcină:
1. Axa reală plane S este o axă de simetrie pentru locul radacinilor pentru asymptotes locus rădăcină.
2. Atunci când se trece de la 0 la ∞ locus rădăcină provenind de la poli
În cazul în care numărul n de poli mai mare decât numărul de zerouri m, (n-m) ramuri ale locusului rădăcină va merge la infinit. Dacă numărul de zerouri depășește numărul de poli ai (n-m) rădăcină ramurile locus provin de la infinit.
3. Sucursalele locul radacinilor, situate la infinit sunt asimptota. Numărul de asimptote egal. Cele asymptotes se intersectează într-un punct în planul axei reale S, în care:
și unghiuri de înclinare în raport cu direcția pozitivă a axei reale plane S:
4. Punctele de S-axa reală la dreapta planului, care este un număr impar de zerouri și poli de
5. La anumite puncte de pe S planul axei reale aparținând locus rădăcină, locus rădăcină poate, met, dispersa, una în partea superioară și alta la partea inferioară a planului S.
Stabilesc regulile de mai sus permit reprezentarea grafică a efectua aproximativ locul radacinilor.
Luați în considerare câteva exemple de construcție a locusului rădăcină.
Construirea locul radacinilor pentru parametrul K variabila pentru un sistem închis, în cazul în care funcția de transfer a sistemului în buclă deschisă:
Soluție: Ecuația caracteristică a sistemului închis. Noi îl reprezintă în formă. Acest lucru arată că numărul de zerouri este egal cu 0, iar numărul de poli este egal cu 4. Aceste valori pot fi obținute prin găsirea rădăcinilor numitor. obține
Aplicați polii în planul complex. În conformitate cu articolul 2 din toate locus rădăcină trebuie să meargă la infinit. Numărul asimptotă este egal cu 4-0 = 4. Definirea unui punct situat pe axa reală, în care se intersectează asymptotes -7.5
Definim unghiuri care constituie asimptota cu direcția pozitivă a axei reale (regula 3).
Aplicați asimptotă pe plan complex, așa cum este prezentat în Fig.2. Aceeași figură arată locul radacinilor, care ies din poli și du-te la infinit, nelimitat se apropie de asymptotes trase.
Soluție: Ecuația caracteristică a sistemului închis are forma
Echivalând la zero numărătorul și numitorul, obținem zerouri și poli locus rădăcină
Aplicați poli și zerouri în planul complex așa cum este prezentat în figura 2. În conformitate cu regula 1, doi locus rădăcină trebuie să se termine infinit, în plus, în conformitate cu regula 4, nici un punct nu aparține locusul rădăcină avion adevărat.
În conformitate cu regula 3, locusul rădăcină sunt două asimptote care se intersectează cu axa reală la un punct
Unghiurile dintre asymptotes și direcția pozitivă a axei reale sunt egale (de obicei, 3)
Cu acel locus rădăcină spus va avea forma prezentată în figura 3. Lăsând locul radacinilor al poli P1 și P2 în capătul zerouri N1 și N2. Root Locus lăsând P3 și P4 poli va merge la infinit la infinit se apropie de asymptotes intersectează axa reală la -55.
Soluție: Ecuația caracteristică a sistemului închis
Noi îl reprezintă sub formă de
Locus rădăcină sunt zerouri:
Pol locus rădăcină sunt:
Aplicam zerouri și poli în planul complex, așa cum este prezentat în Fig. 4. În conformitate cu regula 4, o parte a axei reale, care se află la stânga de la zero N3 aparține locus rădăcină, în care axa acestui segment este asimptota pentru apelurile efectuate la infinit izvor de falie.
Root locus, construită în conformitate cu regulile de mai sus sunt prezentate în aceeași figură. Doi locus rădăcină, lăsând polii P1 și P2 vin la zero N1 și N2. Root locus, lăsând polii P3 și P4 converg la un punct de pe axa reală de aproximativ 84, iar apoi un capăt la zero N3. iar celălalt merge la infinit.
