Tensori de prim rang - vectori

dimensiune. De exemplu, dacă greutatea corporală împărțit la volumul său, obținem o nouă valoare scalară, numită densitatea medie a masei. În cele ce urmează vom presupune elemente scalare ale setului de numere reale, care a introdus operațiile obișnuite de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Acest set va fi notat ca T 0. cantitate fizică, complet definită printr-un singur element al setului va fi numit T 0. scalară sau tensor de rang zero.

3.1 Definiții. Polar și vectori axiale

V'ektor - segmentul de linie îndreptate, în care un capăt (punctul A) se numește începutul vectorului, celălalt capăt (punctul B) se numește capătul vectorului. Pentru a specifica vectorul de direcție trebuie să specifice un spațiu fizic (tridimensional) (de la A la B) și un număr real (un scalar), numită lungime (unitate) vectorul. Pentru vectori, următoarele simboluri: a; o;

a sau vectorii AB 58. Ulterior, vor fi notate cu litere mici aldine ale alfabetului latin, în mod avantajos: o; b; c;. Lungimea (modulul) unui vector egal cu lungimea segmentului AB și jaj notat. Doi vectori a și b se numesc egale dacă au aceeași direcție (aceeași direcție) în spațiul fizic și aceeași jaj lungime = JBJ 59. Vectorul a cărui lungime este egală cu zero se numește vectorul zero și este de obicei notat cu 0. Vectorul de zero este nedefinit și nu Direction ea are valoarea (vectorul zero poate fi atribuit orice direcție). Toți vectorii nuli echivalente între ele. În acest sens, există doar un singur zero vector. versorul numit versorul 60 și vectorul unitate (direcția

58 introduce o denumire Argan J. (1806); AB - A. Möbius; o - Heaviside.

Zhan Rober Arg'an (fr Jean-Robert Argand ;. 18.07.1768 - 13.08.1822) - matematician elvețian; în studiul matematicii a fost autodidact, probabil privit matematica ca un hobby, nu o profesie (era managerul unei librării din Paris).

59 Astfel de vectori sunt numite libere, deoarece punctul de plecare al acestor vectori pot fi alese în mod arbitrar, sau, cu alte cuvinte, începutul vectorului poate fi transferat la orice punct din spațiu. De asemenea, disponibile în științele fizice vectori sunt considerate vectori, care sunt caracterizate printr-un modul, direcția și punctul de aplicare. O multitudine de vectori fiind egale între ele, dispuse pe o singură linie dreaptă, numită vectorul de alunecare. Vectorii mai conexe luata in considerare, care sunt considerate egale, dacă acestea nu au doar magnitudine egală și direcția, dar

și punctul comun de aplicare. In vectorul și tensorului calculul vectorilor liberi considerate au fost asociate sarcina de alunecare sau vector poate fi înlocuit prin specificarea doi vectori liberi.

60 din greacă. oo - directe. Termenul ¾ort¿ Heaviside introdus O. (1892).

obiecte matematice în științele fizice sunt necesare pentru a descrie fenomene studiate, procesele și valorile lor. În special, mecanica vectorului introdus poate descrie mișcarea de translație, care caracterizează organismul de transfer în spațiu. Dar, în natură există un alt tip de mișcare, care nu se limitează la translațională. Această așa-numita Spinor 61 de circulație, care caracterizează schimbarea orientării corpului în spațiu. Conceptul vector de spin este introdus pentru a descrie aceste mișcări. Rețineți că vectorii de spin sunt definite în mod unic numai în spațiul tridimensional. Formal de spin vector este definit după cum urmează [4]. Fizica spațiului (tridimensional) este dată de o linie numita axa de rotație a vectorului. Apoi, în plan perpendicular pe axa de rotație a vectorului este înfățișată săgeata circulară merge în jurul axei și care arată direcția de rotație. Lungimea săgeților circulare numite module (lungime) a vectorului de spin și indică cantitatea de rotație sau de rotație. Astfel, vectorii de spin reprezintă rotația în spațiul fizic tridimensional, în timp ce vectorii direcți reprezintă transmisiunii în același spațiu. Spin-vectori

Vom fi notate cu litere mici latine aldine în formă de. Cu toate acestea, lucrează cu două seturi de elemente de natură diferită incomod

dar. Mai ales pentru că vectorul de spin poate fi unu la unu vectori meci direct prin utilizarea unui acord suplimentar, numit orientarea sistemului de referință.

Comparabil cu vectorul de spin al unui vector de o ¾obychnyy¿ de următoarea regulă:

a) un vector este situat pe axa vectorului de spin A;

b) lungimea vectorului

c) un vector dirijat, astfel încât atunci când este privit din direcția capătului său

rotație definită de vectorul de spin a. Acesta a fost de acord cu orientarea sistemului de referință.

Astfel, în sistemul orientat spre referință poate funcționa doar cu un singur set: set de segmente direcționate. Cu toate acestea, acest set menține în continuare distincția între vectorii. Este următoarele: unii vectori în timpul orientării de referință înlocuirea sistemului la polul opus, nu sa schimbat (astfel de vectori sunt numite polar sau true); Alți vectori la schimbarea sistemului de referință de orientare schimbat în direcția opusă pe partea opusă, păstrând lungimea ei (astfel de vectori sunt numite axial sau axial 62

61 din limba engleză. de spin - de spin.

62 din latină. axa - axa.

Vă rugăm să fiți conștienți de faptul că în timpul vectorii axiale sunt întotdeauna spinvektory, adică rotație în spațiul fizic. Prin urmare, din punct de vedere fizic diferența dintre vectorii polari și axiale și substanțial inamovibil. Această distincție nu are nimic de-a face cu alegerea sistemului de coordonate în cadrul de referință. De exemplu, în cadru pravoorientirovannoy de referință putem folosi atât sistemul de stânga și dreptaci coordonate, alegerea care nu a afectat polare sau vectorul axial.

3.2 Acțiuni cu vectori

Adăugarea de vectori. Doi vectori de același tip și aceeași dimensiune 63 a și b este atribuit un al treilea vector c de același tip și dimensiune, construite în conformitate cu regula regula triunghiului sau paralelogram. Vector c se numește suma vectorilor a și b și se notează cu c = a + b. Operația de adăugare vector are următoarele proprietăți:

1) a + b = b + a (comutativitatea);

2) a + (b + c) = (a + b) + c (plus asociativitatea);

3) a + 0 = 0 + a = a.

Multiplicarea unui vector cu un scalar. Și un vector de orice skalyarustavitsya o revendicare conform vector c. care este notat cu c = a. și astfel încât JCJ = j jjaj. vector de direcție c coincide cu direcția vectorului a. dacă direcția vector> c 0. opusă direcției vectorului a. dacă <0. Операция умножения вектора на скаляр обладает следующими дистрибутивными свойствами:

Determinarea de primit văzut că prin înmulțirea vectorului de un tip polar scalar al vectorului nu este schimbat, și prin înmulțirea vectorului cu un tip axial scalar al vectorului este inversat.

produsul scalar. Doi vectori arbitrare a și b este asociat cu un scalar. care este notat cu un b și se calculează conform regulii = cos jajjbj. unde „- unghiul dintre vectorii a și b. Funcționarea înmulțirii scalar are următoarele proprietăți:

63 Vectori sunt mărimi fizice.

1) a b = b a (comutativitatea);

2) a (b + c) = a + b a c (distributivitatii).

După ce produsul interior determinat de lungimea vectorului jaj = p a și unghiul unei „între vectorii a și b - cos“ = j a ajjb b j.

Din definiția produsului scalar rezultă că a = b este un scalar polar dacă vectorii a și b sunt de același tip, și are un scalar axial dacă vectorii a și b sunt de diferite tipuri.

Doi vectori nenuli se numesc ortogonale dacă produsul lor scalar este zero. Vectori a (jaj 6 = 0) și b (JBJ 6 = 0) sunt reciproc perpendiculare, dacă b = 0.

Dacă vorbim despre sensul fizic al produsului scalar, putem da următorul exemplu. Prin definiție (în cel mai simplu caz), munca depusă de A. forță constantă F pe deplasarea liniară u, cu condiția ca forța de deplasare este unghiul constant. este

Astfel, o interpretare fizică simplă a produsului scalar al vectorilor este munca depusă de forța asupra deplasării. Există și alte exemple fizice.

multiplicare Vector. Perechea ordonata a vectorilor a și b. în care vectorul este considerat un prim (stânga), un factor, iar vectorul b - a doua (sau dreapta) cofactor, este asociat cu vectorul astfel încât c

1) c a = 0 și b = 0 c (c este ortogonal vector și vectorul și un vector b sau, cu alte cuvinte, vectorul c este ortogonal pe planul calibrat de vectorii a și b);

2) direcția de rotație a vectorului cel mai scurt dintr-un (factor stânga) la vectorul b (factor dreapta), care este vizibil din capătul vectorului c. în concordanță cu orientarea sistemului de referință ales (pentru pravoorientirovannoy - anticlockwise la levoorientirovannoy

- în sens orar);

3) Modulul vectorului c se calculează conform regulii JCJ = jajjbj păcatul“. unde „cel mai scurt unghiul de rotație al unui vector pentru vector b. produs Geometric vector unitate egală cu aria paralelogramului format prin vectorii a și b. care provin dintr-un singur punct.

Vector produs va fi notat cu c = a b. multiplicarea vectorului Operațiunea are următoarele proprietăți: