Tau pentru Dummies
Înregistrarea W (j ω) înseamnă că W funcția de transfer (e) este numărul de pur imaginar s = j ω substituit. unde j = - 1. Pentru fiecare W valoarea frecvenței ω (j ω) = P + JQ - este o com-
număr complex având o amplitudine de W (j ω) = P 2 + Q 2 și faza arg W (j ω) = arctg Q P.
W Funcția (j ω) este numit nivel frecvență caracteristică, deoarece caracterizează semnalele de ieșire de sistem la diferite frecvențe armonice. În funcție P (ω) și Q (ω)
(Părțile reale și imaginare ale W (j ω)) - aceasta este frecvența reală și imaginară caracterizată
Funcția A (ω) și φ (ω) (pentru fiecare frecvență, ele iau valori reale) HA
legare, respectiv, caracteristicile de frecvență de amplitudine și de fază (răspuns în frecvență și fază de răspuns). răspuns în frecvență Amplitudine - un factor de amplificare a semnalului armonic. Dacă la o anumită valoare de frecvență ω A (ω)> 1, semnalul de intrare este amplificat, dacă
A (ω) <1, то вход данной частоты ослабляется.
Forma de răspuns de frecvență sunt mai multe tipuri de bază de link-uri:
1) un filtru trece - trece semnalelor de joasă frecvență cu câștig aproximativ egal, blocarea de zgomot de înaltă frecvență și de interferență;
2) filtru trece - transmite semnale de înaltă frecvență, blochează semnalele de frecvență joasă;
3) Filtrul trece banda - permite doar semnale cu frecvențe în banda de ω 1 și ω 2;
4) Filtrul de respingere bandă - blochează numai semnale cu frecvențe în banda de la ω 1 w 2 treceri rămase.
Figura prezintă caracteristicile de frecvență amplitudine ale filtrelor ideale aceste patru tipuri:
6 Aici, desigur, se consideră că un sistem de semnal sinusoidal de intrare nu este „este trivial“, adică semnalul său de ieșire nu crește fără limită (sistemul este stabil).
În cazul în care obiectul este instabil. atunci când sunt aplicate la intrare amplitudinea de oscilație sinusoidală la ieșire va crește pe termen nelimitat. Cu toate acestea, răspunsul de frecvență poate fi încă determinată experimental. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsească mai întâi o anumită autoritate de reglementare, care va face un sistem închis durabil. Apoi, în r de intrare (t) și un semnal sinusoidal comparativ
vayut semnalelor x (t) și y (t), la intrarea și ieșirea obiectului de interes pentru noi, care determină pentru fiecare
frecvența ω «câștig“
(Raportul dintre amplitudinile semnalelor x (t) și y (t)) și trecerea
3.9. Caracteristicile de frecvență logaritmice
Caracteristicile de frecvență este destul de dificil de a construi cu mâna. In anii '60, atunci când a dezvoltat teoria clasice de control, nu a existat nici calculatoare puternice, astfel încât cele mai populare metode aproximative cumpărate prin care a fost posibil să se proiecteze controlere cu calcule de mână și construcții. O astfel de abordare se bazează pe utilizarea caracteristicilor de frecvență logaritmice.
În loc de A (ω) a fost propusă pentru a utiliza o frecvență logaritmică amplitudine caracteristică (LACHH): grafic frecvență logaritm este reprezentată grafic de-a lungul abscisei (w lg), iar axa ordonatei - valoarea L m (ω) = 20lg A (ω). măsurat în decibeli
(DB). În construcția fazei logaritmice a caracteristicii de frecvență (LFCHH) pe abscisă logaritmul frecvenței ca ω lg întârziată.
Unitatea de cadru pe axa de frecvență este deceniu logaritmică - intervalul în care frecvența crește de 10 ori (și valoarea logaritmului este incrementat). Cu toate acestea LACHH LFCHH și numit logaritmice caracteristică amplitudine-frecvență a fazei
(Complot Bode) sau diagrama Bode.
Caracteristicile logaritmice au două proprietăți utile:
1) LACHH LFCHH și W 1 pentru produsul (produsele) W 2 (e) sunt calculate ca LACHH sumă și unități distincte LFCHH:
Figura arată exact (linia albastră solidă) și asimptotică (linie punctată roșie) complot Bode pentru elementul de prim ordin cu o funcție de transfer
W (s) = T + 1 1 pentru T = 1 secundă.
Prima LACHH asimptota determină comportarea la frecvențe joase. are o pantă de la zero, deoarece legătura aparține clasei de unități de poziționare cu un zero non-câștig static constant, adică
Dacă W (0) = 0. Funcția de transfer include un factor k s (k> 0), care corespunde
există un derivat de ordinul k. În acest caz, panta la frecvențe joase LACHH k este de 20 dB / decadă.
Dacă W (0) = ∞. link cuprinde unul sau mai mulți integratori. adică la numitor
are un factor k s. Apoi, panta LACHH la frecvențe joase este - k 20 dB / decadă.
Bascularea LACHH la frecvențe înalte este determinată de diferența în gradele numărătorul și numitorul funcției de transfer. În cazul în care numărătorul este de grad m. iar numitorul - gradul n. panta asimptota este egală cu 20 ultima (m - n) dB / decadă. In exemplul nostru m - n = 0 - 1 = - 1.
Prin urmare, a doua unitate asimptota determină proprietățile la frecvențe înalte, este înclinată - 20 dB / decadă, adică pentru fiecare valoare deceniu scade cu 20 dB (verificați pe termen!).
4. Link-uri dinamice tipice
De obicei, sistemul de control este format din blocuri separate, fiecare dintre acestea fiind descris de ecuațiile de ordin inferior (cel mai adesea - primul sau al doilea). Pentru a înțelege funcționarea întregului sistem este de dorit să reprezinte bine comportamentul elementelor sale individuale. În plus, în construcția de Bode complot funcția de transfer a unui sistem complex este împărțit în factori de prim
W (s) = W 1 (s) W 2 (s). W N (s)
și mai departe, folosind proprietățile Bode complot construi specificații pentru întregul sistem ca LACHH sumă și link-uri individuale LFCHH.
Unitățile având finită nenulă DC câștig al semnalului, adică W (0) = k ≠ 0. pozițională numit. Acest lucru înseamnă că numărătorul și numitorul transferat
funcții precise au nenule termeni constante (termenii constante).
Cea mai simplă unitate de poziție - ideală (instantanee) puterea. Funcția sa de transfer W (s) = k. Strict vorbind, aceasta nu este o legătură dinamică, deoarece din cauza
Menen de presă are loc instantaneu, imediat după schimbarea de intrare. Sub acțiunea unității de intrare a semnalului, etapa 1 (t) (sau δ funcție delta (t)), la ieșire va fi
semnalul amplificat în timpurile k, deci impulsul și caracteristicile tranzitorii sunt nivelul h (t) = k (t> 0) și w (t) = k δ (t).
În cazul în care amplificatorul de intrare funcționează semnalul sinusoidal la ieșire a amplificat k ori, fără a schimba în fază, astfel încât caracteristicile de amplitudine și frecvență de fază nu depind de frecvența semnalului de intrare:
A (ω) = k. φ (ω) = 0.
4.2. link-ul aperiodice
Unul dintre link-urile cele mai comune - aperiodice. care este descris de ecuația diferențială
LACHH asimptotică această unitate este formată din două linii drepte care se intersectează la colțul frecvență ω c = T 1. La frecvențe joase, are o pantă zero (deoarece link
pozițională), și în această zonă L m ≈ 20lg k.
La frecvențe înalte, LACHH panta este - 20 dB / deceniu, din moment ce gradul de numitorul funcției de transfer este una mai mare decât gradul de numărător. Caracteristica de fază variază de la 0 la - 90 °. în care la împerechere frecvență ω c este egal cu - 45 °.
Deoarece LACHH scade la înaltă frecvență, elementul aperiodice suprima de zgomot de înaltă frecvență, adică filtrul are o proprietate de frecvențe joase.
Pentru comparație, consideră că elementul aperiodice instabil. este dată de ecuația
După cum puteți vedea, singura diferență de la (39) - Numai în semnul partea stângă a lui h (t) a ecuației (plus schimbat la minus). Cu toate acestea, se schimbă în mod fundamental tranzitorii și răspunsul la impuls:
Se presupune că, de obicei, T constanta de timp> 0. Apoi, ex-
în acești termeni piesele originale este infinit crește cu t.
Prin urmare, un link numit „instabil“: el singur este în
echilibru instabil, iar la cea mai mică perturbație „este
Este interesant de a compara caracteristicile de frecvență ale unei durabile și
legături aperiodice instabile cu aceiași coeficienți și câștigul de timp.
Din acest grafic, este clar că LACHH neus-
Unitatea tainable coincide exact cu LACHH analog
logică durabilă, dar negativ Opțional
zovy schimbare mult mai mult. durabilă
Element aperiodice se referă la minimum
link-ul de fază, adică modulo fază
mai mică decât faza de orice legătură cu aceeași accentuare
plitudnoy caracteristic. Prin urmare,
Legătură instabilă - non-minimal-fază.
non-minimal-phase Legăturile relative
uzate toate link-urile, funcțiile de transfer Ko
toryh au zerouri sau poli în jumătatea dreaptă
plan, și anume, un veschest- pozitiv
part-guvernamentale. Pentru unitățile cu o fază minimă a tuturor zerouri și poli ai funcției de transfer
Ele sunt în jumătatea stângă (au partea reală negativă). De exemplu, atunci când
timp pozitiv constantele T 1. T 2 și T 3
legătură cu funcția de transfer
- minim-fază, precum și legăturile cu funcții de transfer
(T 2 s + 1) (T3S - 1)
(T 2 s + 1) (T3S + 1)
(T 2 s - 1) (T 3 s - 1)
4.3. link-ul oscilanta
link-oscilatorie - o legătură de ordinul al doilea, cu o funcție de transfer de forma
în care numitorul este complex rădăcini conjugat (adică, b 1 2 - b 2 4 <0 ). Как извест-
ci din teoria ecuațiilor diferențiale, libera circulație a unui astfel de sistem include componente armonice (sinus, cosinus), pentru a da de ieșire oscilație atunci când semnalul de intrare.
Este ușor de imaginat funcția de transfer a nivelului de vibrație în forma
W (s) = T 2 s 2 + 2 T ξ s + 1
(0 <ξ <1). Постоянная времени определяет инерционность объекта,
mai mari este, de cupru
decât o ieșire modificări atunci când intrarea Expo este schimbat. Ξ mai mare. cu atât mai repede vibrațiile sunt amortizate
Când ξ = 0 în (41) se obține prin link-ul conservator care oferă oscilații susținute
de ieșire. Dacă ξ ≥ 1, modelul (41) este o legătură aperiodic de ordinul doi. care este
o conexiune în serie a două legături aperiodice.
Link-ul oscilant se referă la legăturile de poziție, coeficientul său static
câștig egal cu W (0) = k.
Caracteristicile de tranziție și impulsuri sunt diferite pronunțate de vibrație,
în special la valori de atenuare scăzute ale parametrului ξ. Următoarele albastru două diagrame
linii corespund ξ = 0,5. și roșu - ξ = 0,25.
LACHH asimptotică această unitate este formată din două linii drepte care se intersectează
la frecvența de colț ω c
= 1. La frecvențe joase, are o pantă zero (deoarece link
pozițională), și în această zonă L m ≈ 20lg k.
La frecvențe înalte, panta este LACHH
din moment ce gradul de numitorul PE-
redatochnoy are mai mult de două grade de
numărător. Faza schimbare caracteristică
de la 0 la - 180 °. în care pe frecvența de împerechere
Pentru valori ale ξ <0,5
numita „cocoașă“ în zona de împerechere
frecvența, și crește înălțimea sa
scădea în ξ. Acest lucru înseamnă că, în cazul în care frecvența
cele ale semnalului de intrare egală cu w c. acolo
rezonanță. adică, perturbatiilor de frecvență coincid
Este o frecvență naturală de oscilație a sistemului.
În cazul limită când ξ = 0 (unitate conservatoare) discontinuitatea LACHH (trase
la infinit) la frecvența ω c. la o astfel de amplitudine oscilație de intrare crește fără limită și, în practică, un obiect este distrus.
4.4. integratorul
Cel mai simplu exemplu de integrator - baie în care se formează apa. Semnalul de intrare - este fluxul de apă prin robinet, ieșirea sistemului - nivelul apei din baie. La intrarea crește nivelul apei, sistemul „acumulează“ (integrează) semnalul de intrare.
Integratorul este descrisă de ecuația
Este evident că atunci când senzorul de temperatură detectează imediat, dar după un timp τ = L / v. unde L
- lungimea tubului (în metri) și v - viteza fluxului de aer (în m / s). În acest caz, se spune că sistemul are o întârziere de transport pe valoarea τ (în secunde).
Un alt exemplu comun - calcularea întârziere într-un computer. Deci, numit timpul necesar pentru calcularea unui nou semnal de control la primirea tuturor datelor de intrare.
Întârzierea în sistem doar schimbă semnalul pe axa timpului, fără a schimba forma. Matematic, acest lucru poate fi scris ca
Semnalul de imagine de ieșire unitate de întârziere Sunteți o
calculată de teorema pe argumentul de deplasare pentru preob-
Y (s) = L
în consecință, transferul unității funcției întârziere net egal τ (s) W = e - s τ.