spații liniare normate

§ 21. Definirea și exemple de spații liniare normate

Determinarea R 1. Setul de elemente se numește spațiu liniar atunci când sunt îndeplinite următoarele condiții:

I. Pentru oricare două elemente este determinată în mod unic de către al treilea element numit suma lor, în care

3) există un element 0 astfel încât pentru toți

4) Pentru fiecare există un element care

II. Pentru orice număr de elemente și element este determinat (produsul numărului x), în care:

III. operații de adunare și înmulțire sunt legate după cum urmează:

În funcție de ce numerele de stoc (toate complexe sau valid numai) a permis distincția între spațiu complex și reale liniar. Acolo unde nu se specifică altfel, vom lua în considerare spațiul liniar reale.

În spațiul liniar, în plus față de operațiile de adunare și înmulțire cu un număr, administrat mai uzual într-un mod care limitează operarea procesului. Este cel mai convenabil de a face acest lucru prin tastarea într-o normă spațiu liniar.

Spațiul liniar R este declarat a fi normalizat în cazul în care fiecare element este atribuit o regulă și un număr nenegativ:

1) dacă și numai dacă

Este ușor de văzut că fiecare spațiu normat este în același timp un spațiu metric; suficient pentru a pune un spațiu axiome metrice de Justiție rezultă direct din proprietățile 1-3 normei.

spațiu complet normat este numit de tip spațiu Banach, sau, pe scurt, în spațiu.

Exemple normalizat spații. 1. O linie dreaptă cu operațiile aritmetice uzuale este cel mai simplu exemplu de un spațiu normat. Norma în acest caz, este pur și simplu valoarea absolută a unui număr real.

2.n-dimensional spațiu euclidian, adică, spațiu constând dintr-un sistem de numere reale n în care norma (.. adică lungimea) a vectorului este definit ca rădăcina pătrată a pătrat sale interioare

Există, de asemenea, un spațiu liniar normat.

N-dimensional norma spațiu vectorial al vectorului

Ați putea fi, de asemenea, definit prin formula

Presupunând că vectorul normal de egal, vom obține din nou un spațiu normat.

3. Spatiul funcțiilor continue cu funcțiile obișnuite ale operațiunilor de adunare și înmulțire cu un număr, în care

Este un spațiu liniar normat.

4. constă din nou LET tuturor funcțiilor continue pe [a. b], iar rata este introdusă prin formula

Toate axiomele normei sunt îndeplinite.

5. Spatiul este un spațiu liniar normat, dacă presupunem că suma a două elemente

6. Spațiul este format din secvențele din

numere reale care îndeplinesc

Adunarea și multiplicare sunt definite ca în exemplul 5, iar rata este egală

7. Spațiul delimitat de secvențe m cu aceleași definiții ale sume, produse și standarde ca în exemplul anterior.

Axiomele unui spațiu liniar în fiecare dintre aceste exemple sunt ușor de verificat. Faptul că, în exemplele 1-5 axiomele 1-3 pentru regulile se dovedește exact în același mod ca și valabilitatea axiomele un spațiu metric în exemplele respective, § 8 Sec. II.

Toate aceste exemple de spațiu, dar spațiul sunt B-spații.

Determinarea 2.Lineynym mnogoobraziemL într-un spațiu normat R liniar este un set de elemente ale R, care îndeplinesc următoarele condiții: în cazul în care și - orice număr. O varietate liniar închis în R. R este numit un subspațiu al spațiului

Notă 1. În n-dimensional spațiu euclidian R a conceptului unui colector liniar și aceeași subspațiul, deoarece fiecare colector liniar închis automat. (Dovedește-o!) Dimpotrivă, în spațiul infinit dimensional, nu sunt colectoare liniare închise. De exemplu, o multitudine de puncte de forma L

t. e. astfel de puncte, care au doar un număr finit (dar arbitrar) de coordonate nenule, nu este multiplă liniară închisă. Într-adevăr, combinația liniară a punctelor (1) există un punct de același tip, adică L - .. O varietate liniară. Cu toate acestea, L nu este închisă, deoarece, de exemplu, o secvență de puncte

aparținând L, converge la un punct

L care nu aparține.

Nota 2. Lăsași - elemente Banach spațiu R. și M - R formează o multitudine de elemente pentru orice n finit.

Evident, M este o varietate liniară în R. Vom arăta că [M] este un subspatiu liniar. Având în vedere închiderii [M] este suficient pentru a dovedi că este o varietate liniară.

Atunci să-orice vecinătate a lui x acolo și să aibă orice -neighborhood - punct compus dintr-un element și de estimare