Scrisă în matricea formează sistemul
A - coeficienții de matrice ale variabilelor sau matricea sistemului X - variabilele matrice columnar, B - o matrice liber membri de coloană.
pentru că numărul de coloane este egal cu numărul de rânduri ale matricei, atunci produsul lor:
Există o matrice coloană. Elementele matricei sunt obținute laturile din stânga ale sistemului inițial. Pe baza definiției sistemului inițial de matrice de egalitate poate fi scrisă ca :.
Teorema lui Cramer. Să - determinant matritsysistemy, un determinant al matricei obținută din matritsyzamenoy th coloană de membri liberi ai unei coloane. Apoi, în cazul în care sistemul are o soluție unică dată de:
Exemplu. Rezolva un sistem de ecuații prin regula lui Cramer
R e w n e. Determinantul sistemului cu matrice. Prin urmare, sistemul are o soluție unică. Calculăm obținut izzamenoy respectiv primul, al doilea și al treilea membru coloană coloană liberă:
De regula lui Cramer:
.
№7Metod Gauss - o metodă de eliminare succesivă a variabilelor.
Metoda Gauss constă în aceea că prin intermediul unor transformări elementare de rânduri și coloane permutare sistem ecuații este echivalent cu sistemul de etape (sau triunghiulare) formă, din care secvența începând de la ultima (ca număr) variabilele sunt toate celelalte variabile.
Transformarea gauss este efectuată în mod convenabil nu prin ecuațiile, ci cu o matrice expandat coeficienților obținuți prin atribuindu matritsestolbtsa membri liberi:
.
Trebuie remarcat faptul că metoda Gauss poate rezolva orice sistem de ecuații.
Exemplu. Metoda Gauss pentru a rezolva sistemul:
Scriem matricea Augmented a sistemului.
Etapa 1: interschimbarea din prima și a doua linii pentru a deveni egal cu 1.
Pasul 2. multiplica primul rând de elemente de pe (-2) și (-1) și să le adăugați la elementele doua și a treia linii la sub elementul din zerouri prima coloană formate.
Pasul 3. Elementele Multiply pe al treilea rând (-0.5).
Pasul 4. interschimbate rândurile doilea și al treilea.
Etapa 5. interschimbate coloana a doua și a treia. (Etapele 3, 4, 5 sunt date în scopul de a).
Pasul 6. Elementele doua linie se înmulțește cu 3 și adăugați-l la elementele treilea rând, în timp ce sub apare elementul zero.
(Numita matrice sistem extins).
matrice augmented este redus la forma triunghiulară. Sistemul corespunzător este după cum urmează:
Din ultima ecuație; de-al doilea; din prima.
ecuaţiile №8Sistema
Sistemul de ecuații liniare m în n variabile este de forma:
numere arbitrare, numite respectiv coeficienții variabilelor și
- termeni liberi de ecuații.
soluție de (1) este astfel de numere set n
,
pe de substituție care fiecare ecuație a sistemului devine un adevărat egalitate.
Kronecker - Capelli - criteriul compatibilității sistemului de ecuații algebrice liniare:
Sistemul de uravneniysovmestnatogda algebrice liniare și numai kogdarangeo matrice de bază este egal cu gradul de matricea sa augmented, cu sistemul are o soluție unică dacă rangul este egal cu numărul de necunoscute, și un număr infinit de soluții, în cazul în care gradul este mai mic decât numărul de necunoscute.
1) În cazul în care există o soluție, membrii liberi ai coloanei este o combinație liniară a coloanelor matricei A, și, astfel, adăugarea acestei coloane în matrice, adică, tranziție AA * nu se schimba rangul.
2) Dacă RGA = RGA *. aceasta înseamnă că ei au același minor de bază. membrii liberi ai unei coloane - o combinație liniară a coloanelor bazei minorului, cei fidel înregistrării de mai sus.
Exemplu. Se determină compatibilitatea sistemului de ecuații liniare:
.
Exemplu. Pentru a determina compatibilitatea unui sistem de ecuații liniare.
A = = 2 + 12 = 14 0;
sistemul este consecvent. Soluții: x1 = 1; x2 = 1/2
№10 sistem omogen de ecuații liniare se numește un sistem de forma:
Zero soluție de sistem (1) se numește soluția banală.
sistem omogen este întotdeauna consecvent, ca există întotdeauna o soluție banală.
Dacă există orice nenulă soluție a sistemului, atunci aceasta se numește non-triviale.
sistem de soluții omogene au proprietatea liniaritate: Teorema (pe soluția liniară a sistemelor omogene).
Să - soluții ale sistemului omogen (1), - sunt constante arbitrare. Apoi, este, de asemenea, o soluție a sistemului.
Formulați o teoremă, care va da o definiție de bază:
Teorema (pe soluția generală a structurii).
în cazul în care. unde - numărul de variabile din sistem, există doar o soluție banală;
în cazul în care. există o soluții liniar independente ale sistemului. Și soluția generală este. unde - sunt constante.
Fie sistemul omogen este dat (1), apoi setați dimensiunea vectorilor este denumit sistemul fundamental de soluții (FSS) (1) în cazul în care:
- Soluții de sistem (1);
Să rangul matricei principale. unde - numărul de variabile ale sistemului (1), atunci:
SRF (1) există :;
Se compune din vectori;
soluția generală este dată.
În cazul în care. SDF nu există.
Rescriem sub formă de matrice:
Prin transformări elementare pe rândurile le-o dau matricea de bază pentru a forma eșalon:
Astfel rang de sistem (rangul matricea sa de bază) este de două. Acest lucru înseamnă că există un sistem de soluții liniar independente.
Rescriem rezultă ecuațiile sistemului în forma:
Luați-vă ca variabila principală. apoi:
Noi substitui unitatea se transformă ca una dintre variabilele libere și.
Apoi, soluția generală a sistemului poate fi scris ca:
și vectori constituie sistemul fundamental de soluții.
Sistemul Omogene de ecuații
Propunerea 15.2 Sistemul omogen de ecuații
mereu împreună.
Dovada. Pentru acest sistem, un set de numere. Este o soluție.
În această secțiune, vom folosi sistemul de notare de matrice. Propunerea 15.3 Cantitatea de soluții ale sistemului omogen de ecuații liniare este o soluție a acestui sistem. Decizia, înmulțit cu numărul, este, de asemenea, o soluție.
Dovada. Să presupunem că sunt soluții ale sistemului. Apoi. Să. atunci
Din moment. apoi - o soluție.
Să - un număr arbitrar. atunci
Din moment. apoi - o soluție.
Corolarul 15.1 Dacă sistemul omogen de ecuații liniare are o soluție nontrivial, atunci acesta are un număr infinit de soluții diferite.
Într-adevăr, înmulțirea soluției nenul pentru diverse numere vor primi o varietate de soluții.
Definiția 15.5 Noi spunem că soluțiile de sistem formează un sistem fundamental de soluții, în cazul în care coloanele formează un sistem liniar independent, și orice soluție este o combinație liniară a acestor coloane.
Definiția 15.6 Fie - sistem fundamental de soluții ale unui sistem omogen. Apoi expresia
în cazul în care - numere de arbitrare va fi numit soluția generală a sistemului.
Din definiția sistemului fundamental de soluții rezultă că orice soluție a sistemului omogen poate fi obținut din soluția generală pentru anumite valori. In schimb, pentru orice valori numerice fixe din soluția generală obținem soluția sistemului omogen.
Cum de a găsi un sistem fundamental de soluții, vom vedea mai târziu, în secțiunea „algoritm pentru găsirea de soluții ale unui sistem arbitrar de ecuații liniare (Gauss).“
Teorema 15.3 Fie - sistem fundamental de soluții ale unui sistem omogen. Apoi. în cazul în care - numărul de necunoscute din sistem.
Dovada poate fi găsit, de exemplu, în [1].
№11. Multiplicarea unui vector de un număr de
Produsul unui vector nenul și numărul de x = / = 0 este un vector a cărui lungime este egală cu | x | • | și |, iar direcția coincide cu direcția și, dacă x> 0, opusi dacă x, <0.
Produsul a vectorului de orice număr zero x și produsul fiecărui vector în numărul zero este numit vector zero.
Vectorul produsului și numărul x este notat ca (factor numeric scris stânga) x •.
Conform definiției | x • și | = | x | • | și | și pentru orice vector și orice număr x.
Fig. 18 prezintă un produs vectorial al numărului de x = 2 (CD vector>) și numărul x = -2 (EF vector>).
Multiplicarea unui vector de numărul are următoarele proprietăți:
1. asociative (asociative)
• x (y • a) = (x • y) • a.
2. proprietatea distributiv (distribuție) în raport cu multiplicatorul vectorului: • x și y + • a = (x + y) • a.
3. Proprietatea distributivitatea (distribuție) în raport cu un factor numeric:
x a + x • • b = x • (a + b).
Dacă a = 0 sau xy = 0, atunci ecuația x (ya) = (x), așa cum este evident, deoarece din stânga și dreapta sunt zero vektory.Pust a = / = 0, xy = / = 0 și = OA>. Apoi vectorii x (y • OA>) și (xy) OA> minciună pe linia OA>, au o lungime | x | • | y | • | OA> | și în aceeași direcție: în direcția vectorului a = OA>, dacă xy> 0, iar în direcția opusă, dacă xy <0. Таким образом, свойство 1 доказано.Свойства 2 и 3 доказывать не будем. Заметим лишь, что свойства 1 и 2 являются свойствами векторов на прямой. Они уже доказывались в курсе геометрии восьмилетней школы. Свойство 3 является свойством векторов на плоскости; оно тоже было доказано.
Sarcină. La punctul paralelogramului ABCD M este punctul de intersecție al diagonalelor. Găsiți factorul k în fiecare dintre următoarele cazuri:
1) M C> = k • CA>; 2) BD> = k • BM>; 3) AC> = k • CM>;
4) BB> = k • BD>; 5) AA> = k • CC>.
În conformitate cu definiția înmulțirii vectorului în număr, avem (Fig. 19)
1) M C> CA>. | CA | = 2 • | MC |, unde k = - 1/2;
2) BM> BD>, | BD | = 2 • | BM |, care k = 2;
3) CM> AC>, | CM | = 1/2 • | AC |, care k = -2;
4) BB> = 0, BD> = / = 0 unde k = 0;
5) AA> = 0, CC> = 0, unde k - orice număr.
Vectorii în plan și în spațiul