Rotor (matematică), wiki laborator virtual, fandomului alimentat de Wikia
Rotor. sau rotație - operator diferențial vector pe un câmp vectorial. Aceasta arată cât de mult și în ce direcție se rotește câmp la fiecare punct. rotor câmp F este notat cu putregai F (în literatura rusă) sau ondularea F (în literatura engleză), și unde - un operator nabla diferential vector.
Definiția matematică a dreptului
? Rotorul unui câmp vectorial - vector a cărui proiecție în fiecare direcție este egală cu limita de raportul de circulație a unui câmp vectorial pe suprafața plană a conturului L S, perpendicular pe această direcție, la valoarea acestui domeniu, atunci când dimensiunea zonei tinde la zero, iar site-ul se reduce la un punct:
.
Normal pentru site-ul este direcționat astfel încât calculul circulației în jurul conturului l, invers acelor de ceasornic.
Cele trei dimensional sistem de coordonate cartezian se calculează după cum urmează:
Pentru comoditate, puteți stoca în mod convențional rotorul reprezinta ca un produs vectorial.
sau ca determinant al matricei următoare:
Câmpul vectorial, al cărui rotor este egală cu zero în orice punct se numește potențial (irrotational).
Interpretarea fizică a normelor
Conform teoremei distribuției vitezei medii Helmholtz-continuu lângă punctul O dată de ecuația lui Cauchy
în care - vectorul de rotație unghiulară a elementului de mediu în punctul O, și - forma pătratică a coordonatelor - potențialul elementului de deformare mediu.
Astfel, mișcarea mediul continuu în apropierea punctul O este compus din mișcare de translație (vector), o mișcare de rotație (vector) și potențial mișcarea - tulpină (vector). Aplicarea operației formula Cauchy rotor Helmholtz, observăm că egalitatea punctul O și, prin urmare, putem concluziona că, atunci când este vorba de câmpul vectorial este un domeniu de o viteză medie, rotorul acestui câmp vectorial la un punct dat este egală cu dublul rotație unghiulară element de mediu cu centrul în acest moment.
De exemplu, în cazul în care câmpul vectorial ia domeniul viteza vântului în lume, apoi ciclon. rotirea în sens orar. rotorul este îndreptat în jos și spre ciclon, prin rotirea în sens antiorar - up. În acele locuri unde vânturile suflă rectiliniu și cu aceeași viteză, rotorul va fi egal cu (neomogen nenul rotor flux liniar y) zero.
Editați proprietățile de bază
Următoarele proprietăți pot fi obținute de la regulile de derivare convenționale.
- Dacă - un câmp scalar, iar F - un vector, atunci:
- Divergența rotorului este zero:
În acest caz, opusul este adevărat: în cazul în care câmpul F este o divergență-free, este un domeniu al unui câmp vortex G.
- Dacă potențialul câmp F, rotorul său este (câmpul F - irrotational) la zero:
Pe de altă parte, în cazul în care câmpul este irrotational, ea potențial:
pentru unele câmp scalar
- Stokes teorema. circulație vector într-un circuit închis, care este o suprafață de delimitare, acest vector este egal cu debitul prin suprafața rotorului:
Rotor în curbilinie ortogonală Modificați coordonatele
exemple Editare
vector simplu câmp Editare
Luați în considerare câmpul vectorial. depinde liniar de coordonatele x și y.
.
Este evident că câmpul se rotește. Dacă am pus roata cu zbaturi în nici o zonă de teren, vom vedea că începe să se rotească în sensul acelor de ceasornic. Folosind regula din dreapta. poate fi de așteptat să fie înșurubate în câmpul paginii. Pentru un sistem de coordonate dreptaci în direcția paginii va însemna o direcție negativă de-a lungul axei z.
Așa cum a sugerat direcția coincide cu axa z negativă. În acest caz, rotorul este constantă, deoarece este independentă de coordonate. Cantitatea de rotație în câmpul vectorial de mai sus este aceeași în orice punct (x, y). rotor Grafic F nu este foarte interesant:
Un exemplu mai complex Editare
Acum, ia în considerare un câmp vectorial puțin mai complicat:
.
Nu putem vedea nici o rotație, dar în căutarea mai aproape de dreapta, vom vedea un câmp mai larg, de exemplu, punctul x = 4 decât la x = 3. Dacă vom instala o roată cu palete mici acolo, un flux mai mare de pe partea dreaptă ar determina roata să se rotească în sensul acelor de ceasornic, care corespunde înșurubarea în direcția -z. Dacă am pus roata de pe partea stângă a câmpului, un flux mai mare de partea stîngă va determina roata să se rotească în sensul acelor de ceasornic, care corespunde înșurubarea în direcția + z. Verificăm Presupunerile noastre de calcul:
Intr-adevar, se înșurubează în direcția axei z a x negativ și -Z pentru x pozitiv. cum era de așteptat. Deoarece rotorul nu este același lucru la fiecare punct, programul său este un pic mai interesant:
Se poate observa că graficul rotorului nu depinde de y sau z (cum ar trebui să fie) și este orientată de-a lungul -Z pentru x pozitive și direcția + z pentru x negativ.
Trei exemple comune Editare
Luați în considerare exemplul # 8711; × [v × F]. Folosind un sistem de coordonate rectangulare, putem arăta că
Dacă v și # 8711; de swap:
care este un record Feynman cu un indice mai mic # 8711; F. ceea ce înseamnă că indicele de gradient F se aplică numai la F.
un alt exemplu # 8711; × [ # 8711; × F]. Folosind un sistem de coordonate rectangulare, putem arăta că:
care poate fi considerat un caz special al primului exemplu, cu înlocuirea lui v → # 8711;.
Exemple ilustrative Editare
- Vânturile tornado se rotesc in jurul centrului, iar câmpul vectorial viteza vântului ar avea un non-zero la centrul rotorului și, eventual, în altă parte. (A se vedea. Mișcare turbionară).
- În câmpul vectorial care descrie viteza liniară a fiecărui punct al rotorului disc rotativ ar fi constantă în toate părțile discului.
- Dacă viteza de mașini pe pista descrisă de către câmpul vectorial și benzi diferite au restricții diferite asupra vitezei de deplasare a rotorului este la granița dintre benzile ar fi nenul.
- legea inducției electromagnetice. una din ecuațiile lui Maxwell. Se poate exprima foarte simplu prin conceptul rotorului. El spune că rotorul câmpului electric este egală cu rata de schimbare a câmpului magnetic cu semn opus, iar rotorul intensitatea câmpului magnetic este suma densități de curent și normal de curent prejudecată.
Note Editare
- ↑ Dicționar matematică liceu. V.T.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich