rădăcină primitivă (teoria numerelor)

Numerele Index modulo

Pentru primitiv rădăcină g se gradul = g 0 1 g. ..., g φ (m) - 1 nu sunt comparabile între ele modulo m și formează reziduuri redus de sistem modulo m. Prin urmare, pentru orice număr de. relativ prim la m. acolo ℓ index 0 ⩽ ℓ ⩽ φ (m) - 1, astfel încât

ℓ este un număr numit indicele unei baze g.

număr

Dacă există o rădăcină primitivă g modulo m. ea exista doar φ (φ (m)) diferite rădăcini primitive modulo m. Și toate acestea au forma g k>. unde 1 ≤ k ≤ φ (m) - 1 și (. k φ (m)) = 1.

rădăcină minimă

cercetare Vinogradov a arătat că există o constantă C. că pentru fiecare prim p există o rădăcină g primitiv >. Cu alte cuvinte, pentru un minim de module simple, p rădăcină primitivă este de ordinul O (p)>)>. Matematicianul Shupe a arătat că, dacă ipoteza Riemann este adevărată, rădăcina primitivă este printre primele O (log 6 ⁡ p)

)> Numere naturale.

Primitive rădăcini modulo p au fost introduse de Euler. dar existența rădăcinilor primitive pentru orice module p prime, sa dovedit a fi doar de Gauss in „cercetare aritmetică“ (1801).

Numărul 3 este o modulo rădăcină primitivă 7. Pentru a vedea acest lucru, este suficient fiecărui număr de la 1 la 6, reprezentat ca un anumit grad de triplete modulo 7:

Exemple rădăcini puțin primitive modulo m (secvență A046145 în OEIS):