Produsul scalar a doi vectori

16: produsul scalar a doi vectori este un număr. egală cu produsul dintre lungimile acestor vectori prin cosinusul unghiului dintre ele:

5 Teorema Doi vectori sunt perpendiculare dacă și numai dacă produsul lor punct este zero.

Dovedim această teoremă.

Să. apoi unghiul dintre ele. Calculati și substitui-l în formula de calcul a produsului scalar al vectorilor, obținem:

Astfel, am demonstrat că, dacă vectorii sunt perpendiculare, atunci produsul lor scalar este zero.

Dovedim conversa: Dacă produsul scalar este egal cu zero, atunci vectorii sunt perpendiculare:

Având în vedere :. pentru că vectori sunt diferiți de vectorul zero, atunci. Cu condiția. QED.

Proprietățile produsului scalar:

1. (legea comutativ)

2. (legea asociativă)

3. (legea distributiv)

4. (un punct formula pătrată)

Teorema 6 Produsul scalar a doi vectori este egală cu suma produselor coordonatelor lor respective:

Cum să obțineți această formulă?

Sarcina: 1) Să se arate că vectorii sunt perpendiculare.

Soluție: În stare cunoscută coordonatele vectorilor: Prin Teorema 6 le găsim produsul lor interior, obținem.

2) Găsiți unghiul dintre vectorii

Soluție: Utilizarea unei formule corolar Teorema 6:

Definiție 17: Produsul vectorial a doi vectori se numește vector. care îndeplinesc următoarele condiții:

1. Lungimea vectorului este egal cu produsul dintre lungimile vectorilor și sinusul unghiului dintre ele:

3. vectori. și formează un vector dreptaci.

produs vector Desemnare sau.

Definiția presupune:

1. Lungimea produsului vectorial egal cu aria paralelogramului formate pe un anumit vectori de origine comună și:

2. dacă vectorii și sunt coliniari, produsul lor vector este zero. Opusul este adevărat.

Proprietățile produsului Vector:

Teorema 7 Dacă sunt date coordonatele vectorilor, atunci

Există, de asemenea, un produs în amestec de vectori de produs mixt al vectorilor numit număr definit prin formula:

Întrebări pentru controlul cunoștințelor:

1. Dați o definiție a unui vector.

2. Ceea ce se numește vector de la zero? singur?

3. Dă definiția vectorilor egale.

4. Ceea ce se numește o lungime vector?

5. Vectori și au aceeași lungime. Este adevărat că acești vectori sunt egali?

6. Segmentele AB și CD aparțin paralele de linii. dacă vectorii sunt egale și?

7. Factori care fizice sunt vector: a) temperatură; b) viteza; c) în greutate; g) densitatea substanței; d) accelerație; f) zona; g) puterea?

8. vectori coliniare ceea ce se numește?

9. Este adevărat că vectorul de zero este coliniare la orice vector în avion?

10. Este cunoscut faptul că. Putem spune că vectorii și sunt coliniari?

11. Care sunt operațiile liniare pot fi efectuate pe vectorii?

12. Dă definiția sumei a doi vectori.

13. Definiți diferența dintre doi vectori.

14. Suma celor doi vectori este egal cu vectorul zero. Cum se numește acești vectori?

15. Identificarea conceptului de o combinație liniară a vectorilor.

16. Care este starea de dependență liniară de vectori?

17. Care este starea de independență liniară a vectorilor?

18. Ceea ce se numește baza pe planul?

19. Formulați conceptul de coordonate vectoriale.

20. Formulați regulile de adunare, scădere, înmulțire cu numărul de vectori într-o manieră coordonată.

21. Este cunoscut faptul că. Ce puteți spune despre vectori și?

22. Se lasă conceptul vectorului rază.

23. Formulați în general, găsirea coordonatele vectoriale.

24. Care este lungimea vectorului?

25. Ceea ce se numește produsul scalar al vectorilor?

26. Formulați condiția perpendicularitate a doi vectori.

27. Doi vectori sunt date prin coordonatele sale. Cum de a găsi unghiul dintre cei doi vectori?

28. adevărat că rezultă din: 1) și coliniar; 2); 3) și aceeași direcție; 4) și oppositely îndreptat; 5); 6); 7)?

29. În cazul în care egalitatea = egalitatea =?

30. Care este poziția relativă a punctelor A, B și M, iar dacă vectorii și sunt coliniari?

31. Care condiție trebuie să îndeplinească vectori. vectorul + împărțit în jumătate, iar unghiul dintre vectorii?

32. Ar trebui să fie vectori direcționați. lungimea care sunt cunoscute de lungimea vectorului are: 1) maxim; 2) un minim?

33. Este adevărat că pentru orice vector și inegalitățile

34. Ce condiții trebuie să îndeplinească vectori. să aibă următoarele relații:

35. Are vectorii coliniare și. în cazul în care vectorii coliniare?

36. La ce valori ale lungimii vectorului k. 1) egală cu lungimea vectorului; 2) este mai mare decât lungimea vectorului; 3) este mai mică decât lungimea vectorului; 4) egal cu zero?

37. Ca punct aranjat M, A și B, dacă:

38. Dacă unghiul dintre vectorii egal cu 270 °; 180 °; 0 °; 45 °?

39. în care intervalul este unghiul dintre vectorii și. dacă: 1); 2) 1)?

40. Care este lungimea segmentului AB, atunci când?

41. Cum sunt liniile AB și AC, în cazul în care;

42. În cazul în care ecuația. unde - unitate de vectori, vectori și egalitate?

43. Are vector este planul și în cazul în care are loc egalitate: pentru orice vectori; 2) pentru cei doi vectori perpendiculari?

44. Care formează vectorul unghiului cu vector 1); 2)?

45. Poate fi un spațiu vectorial cu axa x unghiul de 30 °, cu axa z și unghiul de 45 °?

46. ​​Care dintre punctele A (2, 5), B (3; 2), C (-4, 1), D (-1; -2) este: 1) cel mai departe de axa x; 2) cel mai apropiat de axa y; 3) în al doilea cvadrantul; 4) în al patrulea trimestru?

47. La ce valori ale unui punct A (3, 2) și B (x-1) situată: 1) pe o linie dreaptă paralelă cu axa y; 2), la aceeași distanță față de axa y?

48. Pentru ce valori ale vectorului m (2, m), egal cu vectorul (2, 1 / m)?

49. La ce valoare a vectorului k (k, 0) este coliniar cu vectorul (0; k)

50. Are vectori perpendicular pe ambele?

51. se află pe o singură linie, dacă punctul (3, -7), (-5, 4), (27, -40)?

52. Fie că liniile drepte paralele care trec respectiv prin punctele (1, -1), (2, 1) și (3, 5), (-1, -3)?

Exerciții pentru resheniya-

1. Varfurile paralelogramului sunt punctele A, B, C, D. Necesită: 1) determinarea vectorilor de zero întâlni la aceste puncte; 2) găsi toate perechile de vectori coliniare; 3) pentru a găsi toate perechile de vectori non-coliniare.

2. Desfaceti vectorul vectorilor de bază și pentru a obține lungimea sa, în cazul în care A (1, 3), B (4; 2). Care sunt coordonatele?

3. Având în vedere vectorii. Găsit: 1); 2); 3); 4); 5).

4. Desenați o formă dreptunghiulară de coordonate vectori de sistem și pentru a găsi lungimea lor. Calculati unghiul dintre acești vectori.

5. Date fiind patru puncte: A (-3; -1), B (-1, 3), C (5, 0) și D (3, 4). Sunt vectori și egali? Răspunsul pentru a explica.

6. vectori Build. dacă A (2; 3), B (-4; -1). Demonstrați că acești vectori nu sunt coliniare.

7. Găsiți unghiul dintre vectorii și. dacă vectorii unitare și unghiul dintre ele este de 0 până la 120.

8. construite într-un sistem de coordonate rectangulare, triunghiul ABC cu vârfuri A (1, 4), B (-5, 0), C (2, 1), și se calculează lungimea mediană a VM. Localizați extinderea vectorului vectorilor și. Lay vector în baza.

9. Găsiți punctul de pe axa Oy, echidistant față de punctele A (6, 12) și B (-8; 10).

10. Punctul C (3, 5) împarte segmentul AB în relația. Localizați segmentul care începe dacă B (-1, 1).

11. Găsiți punctul M, echidistant față de axele de coordonate și punctul A (-4, 2).

12. Găsiți punctul M a căror distanță față de abscisa punctului A (-2, 4) este de 10.

13. Să se arate că punctele A, B, C, D - nodurile paralelogram dacă este cunoscut faptul că ele nu se află pe o linie și vectorii nenuli sunt egale.

14. Luați în considerare paralelogram ABCD. Punctul M se află pe partea laterală a CD-ului. Găsiți suma vektorov6

1); 2); 3); 4).

15. Sarcina coboară cu parașuta cu viteza. Vântul îl transportă în lateral cu viteza. La ce unghi față de sarcina verticală va merge în jos, în cazul în care

16. Să Despre - punctul de intersecție al diagonalelor paralelogramului ABCD. Găsiți x dacă:

17. Să se arate că lungimea vectorilor sunt egale dacă și vectori - perpendicular.

18. Dan triunghi dreptunghic ABC cu partea 2. Punctele M și N - până la jumătate din laturile AB si BC. Găsiți produsul scalar al vectorilor:

19. Găsiți coordonatele proiecției punctului A pe axele de coordonate, în cazul în care A este (2, -1).

20. Dan vector (-1, -2). Găsiți coordonatele punctului B, dacă știi coordonatele punctului A:

21. Are vectorii coliniare:

1) (1, 2) și (-2, -4); 2) (1, 1, 2) și (2, 2, -4);

3). dacă A (8; -2), B (3, 4), C (11, 7), D (-21; 19)?

22. Se calculează produsul scalar a doi vectori:

1) (-2, 3) și (3, 4); 2) (1) și (2);

3). unde A (-2, 4); B (3; -6), C (5, 3);

23. Vectorii perpendiculare:

1) (-2, 3) și (-1, 2); 2) (4, -1) și (3; 12);

24. Găsiți lungimea vectorului:

3). în care A (1, 3) și B (-2, 0);

25. Găsiți unghiul dintre vectorii:

1) (1; 1) și; 2) (1; 1) și;

26. Găsiți un triunghi ABC perimetru și magnitudinea colțurile sale, în cazul în care: A (6, 7), B (3, 3), G (1; 5).

27. Găsiți coordonatele punctului de mijloc în segmentul AB, unde: 1) A (-4, 3), B (-2, 5); 2) A (-4, 3), B (-2, 5).

Dan 28. Un segment cu capetele (1, -3) și B (31; 17). Se determină coordonatele punctelor segmentului împărțind: 1) la jumătate; 2) în trei părți egale; 3) în șase părți egale.

29. Găsiți coordonatele punctele finale care se află pe axele de coordonate, în cazul în care mijlocul este punctul:

1) Având în doi vectori: u. necesită:

a) a construi vectori;

b) se calculează aria paralelogramului formate pe acești vectori;

c) găsi datele sumă și diferență vector;

d) să calculeze lungimea fiecărui vector;

e) să determine coordonatele vectorului, vectorul coliniar și având o lungime de trei ori mai mare decât lungimea vectorului.

2) Fiind dat un triunghi ABC: A (-5, 3), B (1, 4), C (3, -1). În triunghiul construit AK mediana. necesită:

a) pentru a găsi extinderea vectorului vectorilor și;

b) se descompune în vectorul bază.

1) doi vectori sunt date. M (-2, 3), N (2; 1), K (-1, 2), F (4, -2). necesită:

a) a construi vectori;

b) găsi suma și datele diferența vectorului;

c) găsi lungimea fiecărui vector;

d) să determine coordonatele vectorului perpendicular pe vectorul și care trece prin punctul (1, 4);

e) găsi produsul scalar al vectorilor.

2) Fiind dat un triunghi ABC: A (-5, 3), B (1, 4), C (3, -1). construit în înălțime AD triunghi. necesită:

a) pentru a găsi extinderea vectorului vectorilor și;

b) se descompune în vectorul bază.