Problema calului de șah

Acasă | Despre noi | feedback-ul

Lanțul grafic Hamiltonian este circuitul său simplu, care trece prin fiecare nod al grafului exact o dată. Contele Ciclul care trece prin fiecare nod se numește ciclu hamiltonian. Se numește un grafic hamiltonian dacă are un ciclu hamiltonian.

Aceste nume de lanțuri și cicluri asociate cu numele lui William Hamilton (Hamilton W.), care în 1859 a propus următorul joc de puzzle, este necesar trece pe rând de la un nod la altul vârf al dodecaedrul pe marginea sa, pentru a ocoli toate cele 20 de vârfurile o dată și a reveni la vârful inițial.

Rețineți că a inventat multe alte sarcini distractive și utile asociate cu căutarea de cicluri hamiltoniene. Formulați două dintre ele.

1. (Problema cu privire la banchet), compania de mai multe persoane au nevoie să se așeze la masa rotundă în așa fel încât pe ambele laturi ale fiecărei erau prietenii lui. Evident, pentru a rezolva această problemă, aveți nevoie pentru a găsi un ciclu hamiltonian în compania grafic întâlnire.
2. (Problema calului de șah.) Este posibil, pornind de la un câmp arbitrar de o tablă de șah, pentru a ocoli calul în mod constant toate cele 64 câmp o dată și pentru a reveni la câmpul inițial? (Urmează a fi discutat mai jos).

Următoarea teoremă a dovedit Pausch (Posa L.), conferă o condiție suficientă pentru un graf neorientat este hamiltonian. Ea rezumă rezultatele obținute anterior Ore (Ore O.) și Dirac (Dirac G.A.), care sunt încorporate aici ca o consecință.

Fie G un p ≥ 3 noduri. În cazul în care pentru fiecare n. 1 ≤ n ≤ (p-1) / 2, numărul de noduri cu grad de cel mult n. mai puțin de n. și pentru un număr impar de p noduri grade (p -1) / 2 nu este mai mare (p-1) / 2, apoi G - graficul Hamiltonian.

Dovada. Să presupunem că teorema este falsă, și să G - grafic maxim non-hamiltonian cu p noduri, care îndeplinesc condițiile teoremei. Este ușor de văzut că adăugarea de orice margine în grafic având proprietățile specificate în teorema conduce la graficul care este același posedă aceste proprietăți. Astfel, întrucât adăugarea G la margine arbitrar duce la un grafic Hamiltonian, oricare două vârfuri neadiacente unite prin simpla Spanning (conținând toate nodurile din grafic) lanț.

Arătăm mai întâi că fiecare nod, al căror grad nu este mai mic (p-1) / 2, adiacent fiecărui nod cu grad mai mare de (p-1) / 2. Să presupunem (fără pierdere de generalitate) care deg v 1 ≥ (p-1) / 2 și deg vp ≥ p / 2, dar vertex v 1 și vp nu sunt adiacente. Apoi, există un simplu lanț de Spanning v 1 v 2 ... vp. conectarea v 1 și vp.

Mai mult, deoarece n ≥ (p-1) / 2, apoi p / 2 ≤ deg yp ≤ p -1- n

Rezultă că, dacă deg v ≥ p / 2 pentru toate nodurile v. G - Graficul Hamiltonian. (Aici este formulat sub forma de Corolarului 2.) Având în vedere cele de mai sus, fiecare pereche de vârfuri adiacente ale grafului G, adică G - un număr plin. Avem o contradicție, din moment ce un grafic complet este Hamiltonian pentru toate p ≤ 3.

Astfel, G - v este un nod cu v deg

Având în vedere o condiție suficientă nu este necesar. grafic Cubic prezentat în figură, Hamilton, deși este clar că el nu îndeplinește condițiile teoremei. Cu toate acestea, condițiile teoremei nu poate fi îmbunătățită, deoarece slăbirea noii starea lor nu va fi suficient pentru un grafic hamiltonian.

Pausch condițiile limitatoare ale teoremei, obținem mai simple, dar mai puțin puternice condiții suficiente găsite de Dirac și, respectiv, Ore:

Dacă p ≥ 3 și deg u + v ° ≥ p pentru orice pereche u și v sunt vârfuri neadiacente ale lui G. atunci G - graficul Hamiltonian.

Dacă p> și 3 grade v ≥ p / 2 pentru fiecare vârf v graful G. G - Graficul Hamiltonian.

Graficul complet G (V. E) există întotdeauna o cale Hamiltonian.

Dovada. Să m = 1 a 2 ... ap - lungimea căii p -1, unde toate nodurile în m diferite. x - vârful ∉ m. Arătăm că este posibil să se facă pe calea formularului

Să presupunem că nu există nici un astfel de număr întreg k. încheiat între 1 și p. că

Avem, prin urmare, pentru 1 ≤ k ≤ p:

Dacă nu există nici o cale, m = 0 ... 1 xa ap. apoi (a 1. x) ∈ E ⇒ (a 2 x) ∈ E. (ap. x) ∈ E. și calea mp = exista 1 ... ap x, contrar ipotezei. Astfel, putem pas cu pas pentru a construi o cale care conține toate nodurile graficului. ♦

Notă. Acest rezultat implică faptul că este întotdeauna posibil pentru a comanda o mulțime de jucători în turneu, astfel încât fiecare dintre precedente a fost un câștigător imediat următoare (cu excepția cazului, desigur, nici unul dintre întâlnirile nu se încheie cu o remiză).

Problema calului de șah

Noi pune problema de a obține în jurul valorii de tablă de șah de cal, astfel încât fiecare vizita celula exact o dată. Această problemă interesat mulți matematicieni, in special Euler (Euler L.), de Moivre (de Moivres), Vandermonde (Vandermonde), și altele.

O regulă care, aparent, este justificată în practică, dar în teorie nu a fost încă confirmată este următoarea: de fiecare dată când mergem cal înapoi în cazul în care amenință cel mai mic număr nu a fost încă adoptată de către celule.

O altă modalitate este de a găsi o cale pe jumătate bord, simetric duplica-l și conectarea ambelor rute.

Lanțul grafic Hamiltonian este circuitul său simplu, care trece prin fiecare nod al grafului exact o dată. Contele Ciclul care trece prin fiecare nod se numește ciclu hamiltonian. Se numește un grafic hamiltonian dacă are un ciclu hamiltonian.

Aceste nume de lanțuri și cicluri asociate cu numele lui William Hamilton (Hamilton W.), care în 1859 a propus următorul joc de puzzle, este necesar trece pe rând de la un nod la altul vârf al dodecaedrul pe marginea sa, pentru a ocoli toate cele 20 de vârfurile o dată și a reveni la vârful inițial.

Rețineți că a inventat multe alte sarcini distractive și utile asociate cu căutarea de cicluri hamiltoniene. Formulați două dintre ele.

1. (Problema cu privire la banchet), compania de mai multe persoane au nevoie să se așeze la masa rotundă în așa fel încât pe ambele laturi ale fiecărei erau prietenii lui. Evident, pentru a rezolva această problemă, aveți nevoie pentru a găsi un ciclu hamiltonian în compania grafic întâlnire.
2. (Problema calului de șah.) Este posibil, pornind de la un câmp arbitrar de o tablă de șah, pentru a ocoli calul în mod constant toate cele 64 câmp o dată și pentru a reveni la câmpul inițial? (Urmează a fi discutat mai jos).

Următoarea teoremă a dovedit Pausch (Posa L.), conferă o condiție suficientă pentru un graf neorientat este hamiltonian. Ea rezumă rezultatele obținute anterior Ore (Ore O.) și Dirac (Dirac G.A.), care sunt încorporate aici ca o consecință.

Fie G un p ≥ 3 noduri. În cazul în care pentru fiecare n. 1 ≤ n ≤ (p-1) / 2, numărul de noduri cu grad de cel mult n. mai puțin de n. și pentru un număr impar de p noduri grade (p -1) / 2 nu este mai mare (p-1) / 2, apoi G - graficul Hamiltonian.

Dovada. Să presupunem că teorema este falsă, și să G - grafic maxim non-hamiltonian cu p noduri, care îndeplinesc condițiile teoremei. Este ușor de văzut că adăugarea de orice margine în proprietățile specificate în graficul cu teorema conduce la graficul care este același posedă aceste proprietăți. Astfel, întrucât adăugarea G la margine arbitrar duce la un grafic Hamiltonian, oricare două vârfuri neadiacente unite prin simpla Spanning (conținând toate nodurile din grafic) lanț.

Arătăm mai întâi că fiecare nod, al căror grad nu este mai mic (p-1) / 2, adiacent fiecărui nod cu grad mai mare de (p-1) / 2. Să presupunem (fără pierdere de generalitate) care deg v 1 ≥ (p-1) / 2 și deg vp ≥ p / 2, dar vertex v 1 și vp nu sunt adiacente. Apoi, există un simplu lanț de Spanning v 1 v 2 ... vp. conectarea v 1 și vp.

Mai mult, deoarece n ≥ (p-1) / 2, apoi p / 2 ≤ deg yp ≤ p -1- n

Rezultă că, dacă deg v ≥ p / 2 pentru toate nodurile v. G - Graficul Hamiltonian. (Aici este formulat sub forma de Corolarului 2.) Având în vedere cele de mai sus, fiecare pereche de vârfuri adiacente ale grafului G, adică G - grafic complet. Avem o contradicție, din moment ce un grafic complet este Hamiltonian pentru toate p ≤ 3.

Astfel, G - v este un nod cu v deg

Având în vedere o condiție suficientă nu este necesar. grafic Cubic prezentat în figură, Hamilton, deși este clar că el nu îndeplinește condițiile teoremei. Cu toate acestea, condițiile teoremei nu poate fi îmbunătățită, deoarece slăbirea noii starea lor nu va fi suficient pentru un grafic hamiltonian.

Pausch condițiile limitatoare ale teoremei, obținem mai simple, dar mai puțin puternice condiții suficiente găsite de Dirac și, respectiv, Ore:

Dacă p ≥ 3 și deg u + v ° ≥ p pentru orice pereche u și v sunt vârfuri neadiacente ale lui G. atunci G - graficul Hamiltonian.

Dacă p> și 3 grade v ≥ p / 2 pentru fiecare vârf v graful G. G - Graficul Hamiltonian.

Graficul complet G (V. E) există întotdeauna o cale Hamiltonian.

Dovada. Să m = 1 a 2 ... ap - lungimea căii p -1, unde toate nodurile în m diferite. x - vârful ∉ m. Arătăm că este posibil să se facă pe calea formularului

Să presupunem că nu există nici un astfel de număr întreg k. încheiat între 1 și p. că

Avem, prin urmare, pentru 1 ≤ k ≤ p:

Dacă nu există nici o cale, m = 0 ... 1 xa ap. apoi (a 1. x) ∈ E ⇒ (a 2 x) ∈ E. (ap. x) ∈ E. și calea mp = exista 1 ... ap x, contrar ipotezei. Astfel, putem pas cu pas pentru a construi o cale care conține toate nodurile graficului. ♦

Notă. Acest rezultat implică faptul că este întotdeauna posibil pentru a comanda o mulțime de jucători în turneu, astfel încât fiecare dintre precedente a fost un câștigător imediat următoare (cu excepția cazului, desigur, nici unul dintre întâlnirile nu se încheie cu o remiză).