Parabolă - prelegeri - algebra și geometria liniară - cap

3.10. parabolă

Un parabole este multimea punctelor în plan, pentru fiecare dintre care distanța până la acest punct (denumit focalizarea) este egală cu distanța de la această linie dreaptă (numită directricea).

P
ust F - focus, l - directricea al parabolei, p - distanța de focalizare F la directricea l (denumit rparametrom parabolei). Deducem o ecuație a unei parabole.

Am ales axa 0x, astfel încât să treacă prin focalizare F l perpendicular. iar sistemul de coordonate este situat în mijlocul perpendiculara de la F la l (fig. 3.25). Apoi coordonatele focalizare F (, 0), așa cum este descris de ecuația directricea.

Fie M (. X y) - un punct arbitrar al parabolei, atunci, prin definiție parabolică MN distanța de la M la l este distanța de la M la MF focus (MF = MN):

Creșterea pe ambele părți ale acestei ecuații în pătrat, obținem :. După simplificare vom găsi:

- ecuația canonică a unei parabole.

Conform ecuației (3.20) vom investiga proprietățile parabolei și să-l atragă. De la y în gradul de paritate (3.20), care este simetrică în raport cu axa parabolei 0x. Parabolei trece prin origine, ca x = 0 și y = 0 satisfac ecuația (3.20). Mai mult, x 0 (p> 0), și, prin urmare, parabolei se află pe axa 0Y dreapta. În primul trimestru al parabolei definit de ecuația, în cazul în care vedem că x crește odată cu creșterea și. Folosind simetria parabolei ilustrând-l (fig. 3.26).

De notat că ecuația pentru p negativă definește, de asemenea, un parabole, care va fi amplasat pe partea stângă a axei 0Y (fig. 3.27). Ecuația descrie o simetrică parabole în raport cu axa 0Y. axa 0x situată mai sus, dacă p> 0 0x axa și situată mai jos, în p <0.

Exemplul 3.10. Găsiți ecuația parabolei, care este simetrică în jurul axei 0x. trece prin origine și punctul M (1, 4).

Decizie. Ecuația parabolei este dată, este necesar să se găsească numai parametrul p. Coordonatele punctului M (1, 4) satisfac această ecuație, așa

, în cazul în care. Obținem - ecuația parabolei necesară.

Să considerăm o ecuație generală a doua ordine:

Am primit o funcție pătratică (trinom pătratic), trece la notația obișnuită :. De la matematică școală este cunoscut faptul că programul polinom pătratice (3.21) este o parabolă cu vârful în punctul M0 (,), cu o axă de simetrie paralelă cu axa 0Y (transformă prin izolarea pătrate pline).
^

3.11. Simplificarea ecuației generale a doua curbă comandă

Am considerat patru tipuri de curbe de ordinul al doilea: cerc, elipsa, Parabolă și hiperbola. Având în ecuația generală a doua ordine:

absența ^ membru Bxy (caz studiat pentru B = 0), am văzut că această ecuație la diferite rapoarte între coeficienții A. D. E poate descrie fie una dintre aceste patru curbe, fie un punct sau o pereche de linii intersectate sau nu determină nimic. Pe lângă cazurile de mai sus, ecuația (3.17) se pot defini două linii paralele suplimentare sau o singură linie (de exemplu, ecuația definește o linie dreaptă).

Acum, să presupunem că ecuația (3.17) conține un termen cu xy produsului (de exemplu, 0). Arătăm că este posibil prin efectuarea rotației sistemului de coordonate, pentru a trece la noile coordonate, astfel încât ecuația (3.17), în noile coordonate nu vor conține termeni cu produse de coordonate xy.

În cazul în care noul sistem este derivat din vechiul 0XY 0hu de cotitură la un unghi, trecerea de la vechiul la noile coordonate are loc prin formulele:

Prin substituirea de x. în formulele (3.22) în ecuația (3.17), termenii Dx și Ey dau doar primul grad de X și Y. Prin urmare, transforma suma:

Transformarea XY Coeficientul:

Am ales unghiul de rotație, astfel încât acest coeficient este zero:

Este întotdeauna posibil. Într-adevăr, atunci când C = O voință, prin urmare, în consecință

Astfel, prin rotirea sistemului de coordonate am constatat că în noile coordonate ecuația (3.17) nu conține un membru cu coordonatele xy produsului. Evidențierea suplimentare pătrate perfecte, reducem ecuația la o formă canonică.

Este cunoscut faptul că ecuația (3.17) se poate descrie doar linia enumerate anterior.