OGE (DPA) de referință 4 matematică

Parsarea sarcina №4 pe tema: „Solutia de diferite tipuri“

№4 de locuri de muncă necesită abilitatea de a rezolva ecuații de diferite tipuri. Băieți, ar trebui să aibă o bună înțelegere a metodelor corecte de rezolvare a ecuațiilor pătratice, ecuații raționale fracționare, ecuații liniare ordinare. De asemenea, ar trebui să fie în măsură să producă o acțiune bună cu polinoame: înmulțirea și împărțirea unui polinom de un polinom. Veți avea nevoie de abilitatea de a alege rădăcinile care se încadrează în domeniul de aplicare și soluțiile determina ce rădăcinile trebuie aruncate și nu au fost luate în considerare?

Lecțiile pe care le va ajuta în pregătirea acestui loc de muncă:

Mai departe pentru a examina exemple de soluții.

Exemplul 1.
Găsiți rădăcinile ecuației: $ 16x ^ 2-1 = 0 $.

Decizie.
Notă, ni se dă o ecuație de gradul doi, dar nu complet. Coeficientul lui x este zero. Apoi, vom fi ghidat de regula: „acele expresii care este x la pătrat, lăsați la stânga, și toate numerele se va muta la dreapta.“
Ne transformăm expresia noastră: $ 16x ^ 2 = 1 $.

Împărțind ambele părți prin coeficientul lui x la pătrat: $ x ^ 2 = \ frac $.

Pentru a rezolva această ecuație, avem nevoie de cunoașterea rădăcina pătrată. Se extrage rădăcina, fără a uita că numărul negativ, trebuie să luăm în considerare: $ x = ± \ sqrt> = ± \ Frac = ± 0,25 $.
Răspuns: $ x = ± 0,25 $.

Exemplul 2.
Rezolva ecuația: $ x ^ 2 = 18-7x $.

Decizie.
Se transferă toate expresiile din partea stângă a ecuației: $ x ^ 2 +-7x 18 = 0 $.

Ecuația medie pătratică putem rezolva în două moduri:
1. „cap“, prin calcularea discriminant;
2. Folosind Teorema Vietti.

1 mod.
Să ne scrie în jos toți coeficienții ecuației de gradul doi: $ a = 1 $, $ b = 7 $, $ c = -18 $.

Gasim discriminant: $ D = b ^ 2-4ac = (7) = 2.4 * 1 * (- 18) = 49 + 72 = 121 = (11) ^ 2> 0 $.
S-a obținut acea ecuație are două rădăcini.
Rămâne de a găsi aceste rădăcini:
$ X_1 = \ frac> = \ frac = 2 $.
$ X_2 = \ frac> = \ frac = $ -9.

2 metodă.
Noi folosim Teorema Vietti. Teorema Vietti simplifică adesea soluția ecuațiilor pătratice de multe ori, mai ales când coeficientul $ a = 1 $. În acest caz, produsul din rădăcinile ecuației egal cu coeficientul $ a $, iar suma rădăcinilor ecuației este egală cu coeficientul de minus $ b $:
$ X_1 + x_2 = - \ frac $.
$ X_1 * x_2 = \ frac $.

În exemplul nostru, $ c = -18 $ și $ b = $ 7. Începem să atingă o pereche de numere al căror produs este egal cu minus optsprezece. Primele numere vin în minte - nouă și doi. Făcând câteva înmulțiri simple și adăugiri pot fi siguri că ne-am potrivi rădăcini x = -9 $ $ și $ x = 2 $.
$ X_1 * x_2 = -9 * 2 = -18 = \ frac $.
x $ _1 + x_2 = -9 + 2 = -7 = - \ frac $.
Răspuns: $ x = -9 $, $ x = 2 $.

Exemplul 3.
Rezolva ecuația: $ x- \ Frac = \ frac $.

Decizie.
Am fost dat ecuația liniară de obicei, cu coeficienți fracționare. Pentru a rezolva această ecuație să funcționeze în mod corespunzător cu fracții ordinare.
Prima acțiune transformam partea stângă a ecuației, simplificând-l: $ x- \ Frac = \ fracturate \ Frac = \ frac $.
Am obținut ecuația: $ \ frac = \ frac $.
Împărțim partea dreaptă a ecuației prin coeficientul lui x: x = $ \ frac >> $.

Am primit: $ x = 2,5 $.
Raspuns: $ x = $ 2,5.

Exemplul 4.
Rezolva ecuația: $ (x + 2) ^ 2 = (x-4) ^ 2 $.

Decizie.
Metoda 1.
Noi folosim pătrat cu formula suma: $ (x + 2) ^ 2 = x ^ 2 + 4x + 4 $.
$ (X-4) ^ 2 = x ^ 2-8x + 16 $.
A primit: $ x ^ 2 + 4x + 4 = x ^ 2-8x + 16 $.
Să ne simplifica ecuația noastră:
$ X ^ 2 + 4x-x ^ 2 + 8x = 16-4 $.
$ 12x = 12 $.
$ X = 1 $.

Metoda 2.
În rezolvarea acestei ecuații, putem folosi formula diferenței de pătrate. $ (X + 2) ^ 2- (x-4), F2 = 0 $.
$ (X + 2 + x-4) (x + 2 x + 4) = 0 $.
$ (2x-2) * (6) = 0 $.
$ 2x-2 = 0 $.
$ 2x = 2 $.
$ X = 1 $.
Raspuns: $ x = 1 $.

Exemplul 5.
Rezolva ecuația: $ \ frac = \ frac $.

Decizie.
Am prezentat o ecuație rațională. În rezolvarea acestor ecuații, merită să ne amintim că nu poți împărți cu zero. Prin urmare, rădăcinile ecuației este întotdeauna merită verificat, înlocuind-le în numitorul ecuației inițiale.
Noi folosim regula de multiplicare în cruce: $ 9 (x-9) = 14 (x-14) $.
Avem o ecuație liniară:
$ 81-9x = 14x 196 $.
$ 9x-14x = -196 + 81 $.
$ -5x = -115 $.
$ X = 23 $.
Check out radacina noastra, vom vedea că numitorul fracțiilor ale ecuației inițiale nu dispare.
Raspuns: $ x = 23 $.

Exemplul 6.
Găsiți soluția satisface sistemul: $ \ începe x ^ 2 +-9x 22 = 0, \\ x≤1 \ end $.

Decizie.
În primul rând, vom rezolva ecuația de gradul doi, folosind teorema Vietti. Produsul de rădăcinile noastre este egal cu $ 22 $, iar suma este egală cu $ -9 $.
Pick up rădăcini:
$ * 2 = -11 -22 $.
$ -11 + 2 = -9 $.
Am primit două rădăcini: $ x_1 = -11 $ și $ x_2 = 2 $. Din aceste rădăcini de inegalitate $ x≤1 $ satisface prima rădăcină, și el va răspunde.
Raspuns: $ x = -11 $.

Exemplul 7.
Rezolva ecuația: $ 23x-60-x ^ 2 = 0 $.
Ca răspuns, specificați rădăcina modulului diferență.

Decizie.
Inmultiti ecuația originală de $ -1 $: $ x ^ 2-23x + 60 = $ 0 ° C.
În această formă, ecuația are un aspect mult mai familiar.
Noi folosim Teorema Vietti și reprezintă ecuația noastră, ca produs al unui termen de două:
$ (X-20) (x-3) = 0 $.
Ai două rădăcină = 20 $ x_1 $ și $ x_2 = 3 $.
Găsim modulul diferenței: $ | x_1-x_2 | = | 20-3 | = | 17 | = 17 $.
Răspuns: 17.

Exemplul 8.
Cât de multe rădăcini o face ecuația $ x ^ 6-x ^ 2 = 0 $?

Decizie.
Luate din suport cel mai scăzut grad: $ x ^ 2 (x ^ 4-1) = 0 $.
Acum vom folosi diferența de formula pătrate:
$ X ^ 2 (x ^ 2-1) (x ^ 2 + 1) = 0 $.
Și încă o dată folosim aceeași formulă:
$ X ^ 2 (x-1) (x + 1) (x ^ 2 + 1) = 0 $.
Această ecuație este echivalentă cu setul de ecuații: Am că trei rădăcini ale ecuației.
Răspuns: 3.

Exemplul 9.
Rezolva ecuația: $ \ frac = 0 $.
Dacă ecuația are mai mult de o rădăcină, răspunsul a scrie mai multe dintre ele.

Decizie.
Ecuația originală este echivalentă cu următorul set: Vom rezolva fiecare ecuație: Deoarece numitorul nu poate fi zero, o soluție am eliminat. Am primit o radacina a ecuației $ x = 0.5 $.
Răspuns: -0.5.