Obtinerea matricei fundamentale normalizată a soluțiilor - studopediya

Avem o ecuație diferențială matrice omogenă sub formă de Cauchy

Noi căutăm o soluție în formă de:

unde - vectorul coeficienților constanți,

.

Că, în cazul general. este necesar ca determinant al diferenței

Această ecuație se numește ecuația caracteristică pentru sistemul de Cauchy. În formă extinsă:

Dacă dezvălui determinantul, obținem ecuația de n-th-comandă. soluția care va da n rădăcini :.

Numărul de rădăcini egal cu rangul matricei.

Substitut în ecuația

Dacă ecuațiile sunt liniar dependente, respectiv a elementelor vectorului am stabilit, restul este. Substituind succesiv toate valorile. Noi definim n vectori.

Apoi, pot fi scrise soluțiile ecuației omogene:

Atunci când această condiție este o permanentă S.

Matricea fundamentală a soluțiilor:

Problema este de a găsi soluțiile fundamentale normalizate prin echivalarea elementele de matrice ale elementelor de matrice ale matricei atunci când nu conduce la rezultatul.

matricea fundamentală Din ce în ce normalizate soluțiilor este determinată de:

Apoi, o matrice este adesea menționată de-a lungul normalizat.

Dacă matricea nu este singular, atunci:

Apoi, soluția generală a ecuației diferențiale neomogene scrisă ca

Matricea de soluții fundamentale ca elemente cuprinde o combinație de soluții matrice originale (pentru sisteme liniare, suma soluții de ecuații diferențiale cu coeficienți diferiți ca soluție).

Pentru sistemul liniar staționar (cu coeficienți constanți):

și anume Acesta este reprezentat de o serie infinită.

În cazul particular când matricea - o diagonală,

Obținerea soluția generală a ecuației modificate în ceea ce privește matricea fundamentală a soluțiilor unui simplu omogen implementată prin utilizarea metodei multiplicatorilor nedeterminate

Deoarece ambele ecuații sunt aceleași, atunci ne cerem. atunci.

matrice normalizat este obținut, folosind astfel o metodă diferită.

Luați în considerare cazul în care:

Când elementul 1-lea () cu factorul anterior determinantul matricei este egal,

În cazul în care toate elementele matricei împărțite în.

Acest lucru este valabil în cazul în care rădăcinile sunt diferite și valide. În cazul în care rădăcinile sunt complexe, este necesar să se mute la funcțiile trigonometrice.