Multiplicarea monoamele și polinoame, matematica

În cazul în care numerele sunt indicate prin litere diferite, puteți desemna numai a produsului; Să presupunem, de exemplu. un număr necesar de ori mai mare decât numărul de b, - putem desemna acest lucru sau a ∙ b sau ab, dar nu poate fi din cauză pentru a efectua într-un fel această multiplicare. Cu toate acestea, atunci când se ocupă cu monoamele, atunci, datorită 1) prezența factorilor și 2) faptul că compoziția acestor monoamele pot include multiplicatori, desemnate de aceleași litere, este abilitatea de a vorbi despre performanța multiplicarea monoamele; lărgit oportunitatea când polinoame. Să examinăm un număr de cazuri în care este posibil să se efectueze multiplicarea, începând cu cele mai simple.

1. Înmulțirea grade cu baze identice. Să presupunem, de exemplu. Este nevoie de un 3 ∙ un 5. Scriem, cunoscând sensul exponentiation, aceleași detalii:

o ∙ ∙ un un ∙ un ∙ ∙ un un ∙ ∙ un un

Având în vedere acest cont detaliat, vom vedea că am scris un factor de 8 ori, sau, pe scurt, un 8. Astfel, un 3 ∙ 5 = a 8.

Să presupunem că doriți să b 42 ∙ b 28. Ar trebui să scrie un prim factor de multiplicare b 42 de ori, apoi de 28 de ori multiplicator b din nou - în general, s-ar obține că b este luat de 70 de ori multiplicator. t. e. b 70. Astfel, b 42 28 ∙ b = b 70. Din aceasta este clar că atunci când multiplicarea puterilor cu aceleași baze ale bazei rămâne în mare parte fără schimbare și se adaugă exponenți. Dacă avem un 8 ∙ o, va trebui să aibă în vedere faptul că un factor implicat exponent 1 ( «o în primul grad") - și, în consecință, un 8 ∙ a = a 9.

Exemple: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9; un 11 22 ∙ a ∙ a 33 = a 66; De 5 Martie Martie 6 ∙ ∙ = 3 Dec. 3; (A + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7; (3x - 1) 4 ∙ (3x - 1) = (3x - 1) 5, etc ...

Uneori trebuie să se ocupe de grade, cifrele care sunt desemnate prin litere, de exemplu. xn (x la puterea n). Cu aceste expresii trebuie să se obișnuiască să se ocupe. Iată câteva exemple:

Explica unele dintre aceste exemple: bn - 3 ∙ b 5 b bază trebuie să plece fără schimbare și indicatori împăturit, adică (n - 3) + (+5) = n - 3 + 5 = n + 2. Desigur, .. astfel de plus trebuie să învețe să facă repede în minte.

Un alt exemplu: x n + 2 ∙ x n - 2. - bază x trebuie lăsată fără schimbare, iar rata de pliat, adică, (n + 2) + (n - 2) = n + 2 + n - 2 = 2n ...

Poate fi găsit procedura de mai sus pentru modul în care să efectueze multiplicarea puterilor cu aceleași baze, exprimă acum ecuația:

o m ∙ a n = o m + n

2. Inmultiti monom de un monom. Să presupunem, de exemplu. necesară 3a²b³c ∙ 4ab²d². Vedem că aici reprezintă punctul de o multiplicare, dar știm că același semn de multiplicare se înțelege între 3 și a², între a² și b³, între b³ și c, între 4 și, între o și b², între b² și d². Deci, putem vedea aici produsul de 8 factori și le pot multiplica de orice grup, în orice ordine. le rearanja, astfel încât rapoartele și grad cu baze identice au fost apropiate, adică. E.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ un ∙ ∙ ∙ b² b³ c ∙ d².

Apoi, putem multiplica 1) raporturi, și 2) gradul de aceleași baze și a obține 12a³b5cd².

Deci, în multiplicarea unui monom printr-un monom, putem multiplica coeficienții și gradul de aceleași baze ca și ceilalți factori trebuie să rescrie neschimbat.

3. Multiplicarea unui polinom de un monom. Să este necesar mai întâi de orice polinom, de exemplu. a - b - c + d este înmulțită cu un număr întreg pozitiv, de ex. 3. Deoarece numerele pozitive sunt considerate coincident cu aritmetica, aceasta este aceeași ca (a - b - c + d) ∙ 3, adică - .. B - c + d ia de 3 ori sumand sau

(A - b - c + d) ∙ (+3) = a - b - c + d + a - b - c + d + a - b - c + d = 3a - 3b - 3c + 3d,

t. e. ca urmare a avut fiecare termen al polinomului se înmulțește cu 3 (sau 3).

(A - b - c + d) ÷ (+3) = a - b - c + d,

t. e. au fiecare termen al polinomului împărțit în (3). De asemenea, mai general, obținem:

Să presupunem acum că este necesară (a - b - c + d) înmulțit cu o fracțiune pozitivă, de ex. la +. Este așa înmulțit cu fracțiunea aritmetică a ceea ce înseamnă a lua parte la (a - b - c + d). Ia-o cincime din acest polinom este simplu: este necesară (a - b - c + d) se împarte la 5, iar acest lucru este capabil să facă - obține. Rămâne să repete rezultatul înmulțit cu 3 ori sau 3, r. F.

Ca rezultat, vom vedea că fiecare termen al polinomului trebuie să fie multiplicate cu, sau +.

Să presupunem acum că este necesară (a - b - c + d) înmulțit cu un număr negativ, întreg sau fracționar,

. Adică, în acest caz, am avut fiecare termen polinomului este multiplicată cu. -.

Astfel, indiferent de numărul de m, întotdeauna (a - b - c + d) ∙ m = am - bm - cm + dm.

Deoarece fiecare monom reprezintă un număr, aici vom vedea o indicație a modului de a multiplica un polinom de un monom - este necesar să se multiplice fiecare termen al polinomului pe monom.

4. Înmulțiți polinomul de un polinom. Lăsați este necesară (a + b + c) ∙ (d + e). Deoarece d și e reprezintă numere, și (d + e) ​​exprimă orice număr.

(A + b + c) ∙ (d + e) ​​= a (d + e) ​​+ b (d + e) ​​+ c (d + e)

(Putem explica astfel: putem d + e asumă temporar monom).

Mai mult, prin efectuarea unui număr obținut prin înmulțirea (un monom cu un polinom), obținem:

= Ad + ae + bd + fi + cd + ce

Acest rezultat se poate schimba ordinea termenilor.

(A + b + c) ∙ (d + e) ​​= ad + bd + ed + ae + fi + ce,

t. e. de a multiplica un polinom de un polinom au fiecare membru al unui polinom înmulțit cu fiecare membru al celuilalt. Convenabil (acesta a fost modificat de mai sus membri procedură derivate) se multiplica fiecare termen al primului polinomului mai întâi pe primul membru al doilea (în + d), atunci al doilea membru al doilea (la + e), atunci, dacă ar fi, pe al treilea și așa mai departe d..; atunci ar trebui să fie făcut pentru a aduce acești membri.

In aceste exemple, binomul înmulțit cu binomul; în fiecare membru doi pe termen aranjate în grade descendente ale literelor comune ambelor binomi. O astfel de multiplicare transporta cu ușurință în mintea ta și imediat scrie rezultatul final.

.. Înmulțind membru senior al primului binom unui membru senior al doilea, adică 4x² la 3x, pentru a primi 12x³ membru senior al lucrărilor - ca el, evident, nu va fi. Mai mult, cautam, înmulțind ce membrii vor primi membrii cu mai puțin de 1 grad de litera x, t. E. Cu x². Este ușor de observat că acești termeni sunt obținute prin înmulțirea doilea membru al primului factor al primul termen al doilea și înmulțirea cu primul membru al primului factor al doilea dintre al doilea element (paranteze la partea inferioară a exemplului este indicat). Efectuați aceste înmulțiri în minte și de a efectua și aducând cele două alți termeni asemănători (după care vom obține un -19x² membru) - business ușor. Apoi observăm că termenul următor cu litera x la puterea de 1 mai puțin. E. X în primul grad, a primit doar prin înmulțirea de-al doilea membru al doilea, și altele asemenea, nu va fi.

Un alt exemplu: (x² + 3x) (2x - 7) = 2x³ - x² - 21x.

De asemenea, în mintea efectua cu ușurință exemple cum ar fi următoarele:

Termenul principal se obține prin înmulțirea membrului superior pe membrii seniori ai ilk lui nu va fi, și el = 2a³. Apoi cauta, nici înmulțiri sunt obținute de la membrii cu a² - multiplicând primul membru (a²) pe al doilea (5) și prin înmulțirea doilea membru (-3a) pe prima (2a) - este indicat în partea de jos paranteze; efectuarea acestor membri multiplicatori și de conectare a primit unul, pentru a primi -11a². Apoi, în căutarea de la unele înmulțiri sunt obținute cu un membru în primul grad - multiplicarea marcate între paranteze de top. Executarea lor și de legătură membri au primit unul, obținem + 11a. În cele din urmă, observăm că membrul inferior al produsului (10), care nu conține, se obține prin înmulțirea termenul cel mai scăzut (-2) polinomul de un membru mai tânăr (5) a celeilalte părți.

Un alt exemplu: (4a 3 + 3a 2 - 2a) ∙ (3a 2 - 5a) = 12a 5 - 11a 4 - 21a + 10a 2 3.

Dintre toate exemplele anterioare obținem rezultatul global: un membru senior al produsului obținut prin înmulțirea întotdeauna membri de rang înalt ai multiplicatori, și membrii similare nu pot fi; ca membru minor al produsului obținut prin înmulțirea mai tineri membri ai factorilor și membrii similari, de asemenea, nu poate fi.

Alți membri, obținute prin înmulțirea polinomul cu un polinom, poate fi similar cu, și se poate întâmpla chiar ca toți acești membri sunt anihilate reciproc, și rămân doar majore și minore.

(A² + ab + b²) (ab) = a³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³ = a³ - b³
(A² - ab + b²) (ab) = a³ - a²b + ab² + a²b - ab² + b³ = a³ + b³
(A³ + a²b + ab² + b³) (a - b) = a 4 - b 4 (scrie doar rezultat)
(X 4 - Xg + x² - x + 1) (x + 1) = x 5 + 1 și t n ..

Aceste rezultate sunt de remarcat și util să ne amintim.

Deosebit de important este următorul caz de multiplicare:

(A + b) (ab) = a² + ab - ab - b² = a² - b²
sau (x + y) (xy) = x² + xy - xy - = x² Ya - Ya
sau (x + 3) (x - 3) = x² + 3x - 3x - 9 = x² - 9, etc ...

În toate aceste exemple, se aplică aritmetică, avem un produs din suma celor două numere pe diferența lor, iar rezultatul este diferența dintre pătratelor acestor numere.

Dacă vom vedea un caz similar, că nu este necesar să se efectueze o multiplicare în detaliu, așa cum a fost făcut de mai sus, și puteți scrie imediat rezultatul.

Ex. (3a + 1) ∙ (3a - 1). Aici, primul punct de multiplicare cu aritmetica de vedere, este suma a două numere: primul număr este 1 3a, iar al doilea, iar al doilea factor este diferența dintre aceleași numere; deoarece, ca urmare ar trebui să aibă: o primă pătrată (.. adică 3a ∙ 3a = 9a²) minus pătrat al doilea număr (1 ∙ 1 = 1), adică ..

(3a + 1) ∙ (3a - 1) = 9a² - 1.

(Ab - 5) ∙ (ab + 5) = a²b² - 25, etc ..

(A + b) (a - b) = a² - b²

t. e. produs din suma celor două numere de pe diferența lor este egală cu diferența pătratelor acestor numere.