Metode de rezolvare a ecuațiilor algebrice peste gradul doi

educație matematică primite la școală, este o componentă esențială a educației generale și de cultură generală a omului modern. Aproape tot ceea ce înconjoară o persoană într-un fel sau altul legătură cu matematica. În prezent, mai multă atenție a fost acordată natura aplicată subiectului. Solutia multor probleme practice se reduce la rezolvarea diferitelor tipuri de ecuații care trebuie să fie în măsură să rezolve. Lucrarea discută exemple de rezolvare a ecuațiilor de grade mai mari mai mici decât metodele cunoscute. Lucrarea va fi util și interesant pentru elevii din clasele superioare, în curs de pregătire pentru examene.

Pentru cele mai multe ecuații au sugerat examenele, cunoștințe suficiente a metodelor de bază de rezolvare a acestora. Cu toate acestea, unele dintre ecuațiile pot fi rezolvate în moduri diferite, alegerea cea mai rațională sau mai „interesant“, demonstrând erudiția și cunoașterea subiectului.

Ipoteză. Mastering diferite, inclusiv metode non-standard de rezolvare a ecuațiilor de grad mai mare decât al doilea va permite elevilor de liceu se pregătească mai corect pentru examene sau pur și simplu extinde perspectivele lor matematice.

Ecuațiile algebrice peste gradul doi

Metode de rezolvare a ecuațiilor

Exemplificata de mai puțin comune modalități de rezolvare a ecuațiilor de grade mai mari.

• Luați în considerare metode neobișnuite pentru a rezolva ecuații prin introducerea unei noi variabile: metoda simetrizare, introducerea a două variabile, metoda de introducere a unui parametru, metoda de rădăcină ecuația de gradul doi

• Luați în considerare o nouă metodă pentru izolarea unui pătrat perfect

• Afișare exemple de aplicare a metodei de progresie geometrică

• Explicați exemplul esența metodei înmulțirii ecuației prin funcția

• Afișați un exemplu de utilizare o suprapunere de funcții pentru rezolvarea ecuațiilor

Metoda simetrizare

Ecuația, valorile care au un centru de simetrie.

Utilizați wildcard. symmetrizes care perechile individuale de termeni. Ca urmare a acestei înlocuiri distins termeni care diferă numai în semn.

Decizie. Rețineți că termenii zerourile: 0; -2; -4 și -6 sunt simetrice în raport cu numărul - 3. Fie x = t-3. Apoi, (t-3) (t-1) (t + 1) (t + 3) = 0 +16

(T²-9) (t²- 1) +16 = 0 t⁴- 10t² + 25 = 0, t₁ =, t₂ = - x₁ = -3, x₂ = -3

Decizie. Fie x = t-1. atunci

Exemplul 3. (x²-7) ⁴ + (x²-9) ⁴ = 16

Decizie. Aici este convenabil pentru a face substituția x² = t + 8.

Folosind formula (a ± b) ⁴ = a⁴ ± 4a³b + 6a²b² ± 4ab³ + b⁴, obține t⁴ + 6t²-7 = 0, t = ± 1.

Revenind la variabila x, sau de a obține. t. e., sau x = x =.

Decizie. Introducem un înlocuitor. Să y = x + 4, atunci

Revenind la substituția: x + 1 = 4 sau x + 4 = -1

Metoda de introducere a două variabile

Ecuația duce la o formă care este, evident, introducerea a două variabile. După care o ecuație omogenă sau sistem de ecuații. Exemplul 1.

Decizie. Fie p = (x h²- +1) ², q = x². Apoi p²- 10pq + 9q² = 0

Obținem o ecuație de ordinul doi omogen în ceea ce privește p și q. Rețineți că q ≠ 0 (0 - nu este rădăcina ecuației de bază). Prin urmare, acesta poate fi împărțit în q².

Vom introduce o nouă variabilă. Obținem o ecuație de gradul doi în variabila t.

10t t²- + 9 = 0, vom găsi t₁ = 1, t₂ = 9.

Acum trebuie să rezolvăm ecuația:

Metoda de introducere a unui parametru

Uneori, în timpul descompunerii unui polinom de factoring ajută metoda de introducere a unui parametru.

Decizie. Luați în considerare un polinom cu un parametru. în care, atunci când polinomul pe partea stângă a unei ecuații predeterminate, t. e. Ecuația devine

Formam o ecuație pătratică în ceea ce privește o:

Ale cărui rădăcini - și.

Extindem partea stângă a ecuației la factorul

rădăcini Metodă unei ecuații pătratice.

Vom introduce o nouă variabilă, ecuația devine un pătrat în raport cu noua variabilă.

EXEMPLUL 1 h⁴ 3h² + + 20X - 96 = 0

Decizie. Să transformăm această ecuație în pătrat pe noua variabila t. Să t = 10. Apoi se adaugă 20 = 10t. 96 = t² - 4 și ecuația devine un pătrat cu respect t: t² - 2 t- (h⁴ + 3h² + 4) = 0

Găsim discriminantul acestei ecuații:

D = (-2x) ² + 4 (x⁴ + 3x² + 4) = x⁴ + 16x² = +16 (2x² + 4) ²

Prin urmare, rădăcinile ecuației:

t₁ = x² + x + 2, t₂ = -x ² + x -2

Rămâne de a rezolva cele două ecuații:

1) x² + x - 8 = 0; 2) x² - x + 11 = 0

Decizie. Să t =. Apoi 2 = t². Prin urmare, această ecuație poate fi reprezentată după cum urmează:

Să ne întoarcem la variabila x »:

Înlocuiți coeficientul -7:

Luați în considerare această ecuație ca o rudă pătratică. unde

metoda geometrică

Dacă în partea stângă a ecuației P (x) = 0 este suma primii termeni ai unei progresii geometrice, ea poate fi transformată cu ajutorul formulei:

Exemplul 1. 8x³ + 4x² + 2x + 1 = 0

Decizie. Partea stângă a ecuației - suma primilor patru membri ai unei progresii geometrice, în cazul în care. În consecință, suma membrilor săi este egală (notă de faptul că x = 0.5 nu este o rădăcină a ecuației) și această ecuație este echivalentă cu

Decizie. - membri ai unei progresii geometrice (). Suma primelor cinci dintre membrii săi este egal. Astfel, ecuația de pornire devine

(X = 1, x = -1 - nu sunt rădăcinile ecuației).

Răspuns: Nu există rădăcini

Metoda de izolare pătrat perfect

Selectați pătrate perfecte și evaluarea expresiei obținute pentru a trece la un sistem.

Exemplul 1. x⁶ + x⁴-2x³-2x² + 2 = 0

Decizie. Alocați pătrate perfecte:

Este evident că această ecuație este echivalentă cu sistemul:

2. EXEMPLUL 4 (x²-x + 1) (x²-2x + 2) = 3

Decizie. Rețineți că:

Deoarece condiția ca f (x), g (x) c> 0 și a = bc executat atunci ecuația originală este echivalentă cu sistemul

Raspuns: Sistemul nu are soluții.

Multiplicarea ecuației prin funcția

Ambele părți ale ecuației algebrice se înmulțește cu un polinom de necunoscut. Trebuie amintit că posibila apariție a rădăcinilor inutile ale ecuației polinomului care au multiplicat. Prin urmare, este necesar să se înmulțește cu un polinom, care nu are rădăcini și pentru a obține ecuația echivalentă. sau înmulțit cu un polinom având rădăcini. Apoi, fiecare din aceste rădăcini, este necesar să se substituie în ecuația originală și de a determina dacă acesta este numărul de rădăcinile sale.

Soluție: Multiplicarea ambele părți ale ecuației printr-un polinom. nu are rădăcini, obținem ecuația:

Ultima ecuație poate fi scrisă ca:

Clear. că această ecuație nu are rădăcini reale, ecuația astfel încât acestea sunt, de asemenea, dat nu.

Raspuns: nu există soluții.

Soluție: Înmulțind ambele părți ale ecuației printr-un polinom, obținem ecuația:

Această ecuație are o ecuație simetrică de gradul al patrulea. Deoarece x = 0 nu este o rădăcină a ecuației apoi, împărțind ambele părți prin regruparea și membrii săi, obținem ecuația este echivalentă cu:

Desemnările. rescrie ecuația în formă

Roots. și. Prin urmare, ultima ecuație este echivalentă cu setul de ecuații:

A decide fiecare dintre aceste ecuații, obținem ecuația patru rădăcini, și deci ecuația originală:.

Deoarece rădăcina este străină ecuației dată. atunci vom primi un răspuns

Utilizarea funcției de superpoziție

Uneori, puteți găsi rădăcina ecuației, dacă observăm că funcția care este într-o parte a ecuației este o suprapunere a unora dintre funcțiile mai simple.

Decizie. Notăm. Ecuația predeterminată poate fi rescrisă după cum urmează.

Acum, în mod evident, în cazul în care - rădăcina ecuației. și rădăcina ecuației.

Rădăcinile ecuației, există

Rezultă că ecuația originală are rădăcini. Rescrierea-l în forma și împărțirea unui polinom de un polinom. obținem:

Rezultă că rădăcinile ecuației dat, împreună cu și. Ele sunt, de asemenea, rădăcinile ecuației. t. e. numărul și

Matematica, precum și orice altă știință nu se opune în continuare. Odată cu dezvoltarea societății se schimbă atitudini și nevoile oamenilor, gândurile și idei noi. Cu toate acestea, unele lucruri rămân aceleași: nevoia de a fi în măsură să scrie și să rezolve ecuații.

In timpul ipoteza a fost confirmată: stăpânirea de diferite, inclusiv metode non-standard de rezolvare a ecuațiilor de grad mai mare decât al doilea va permite elevilor de liceu se pregătească mai corect pentru examene sau pur și simplu extinde perspectivele lor matematice.