Metoda Fourier (metoda de separare a variabilelor) - studopediya

Să considerăm metoda Fourier pe un exemplu de procedură al soluțiilor mixte pentru problema ecuației conducției de căldură în cazul unei variabile spațiale.

Problema 1. Găsiți soluția ecuației omogene

îndeplinește condiția inițială

și zero condiții (omogene) la limită:

Esența metodei este de a căuta soluții netriviale ale ecuației (1) care satisface condițiile limită (3), sub formă de

Substituind (4) în (1) obținem

Deoarece partea stângă a ecuației este o funcție. și numai pe partea dreapta. că egalitatea este posibilă în cazul în care acestea sunt egale cu o constantă:

Prin urmare, vom obține două ecuații diferențiale:

și să îndeplinească condițiile. .

Astfel, pentru a determina funcția avem problema eigenvalue: găsi acele valori ale parametrilor. în care există o soluție non-trivială a problemei

Luați în considerare trei cazuri în cazul în care.

1. Fie. Să ne găsim soluția de ecuații diferențiale.

. - două rădăcini reale. Soluția generală este dată de

. Cerința de condițiile limită este:

Determinantul sistemului. în consecință, atunci când există soluții doar triviale.

2. Să. Să ne găsim soluția de ecuații diferențiale.

. - o rădăcină multiplă. Soluția generală este dată de

. Cerința de condițiile limită este:

De unde rezultă că, atunci când există doar soluții triviale.

3. Fie. Să ne găsim soluția de ecuații diferențiale.

. - două rădăcini complexe conjugate. Soluția generală este dată de

. Cerința de condițiile limită este:

Sistemul are o soluție trivial dacă și numai dacă determinantul său este zero sau cod. Prin urmare. Astfel, soluțiile netriviale ale problemei (7) este posibilă numai dacă

Din sistemul (*), obținem și, prin urmare,

sunt funcții proprii ale ecuației Sturm-Liouville (7).

Funcția corespunzătoare este definită până la un factor constant.

Ne întoarcem acum la soluția ecuației (5). Când aceasta are forma

Noi rezolva această ecuație prin separarea variabilelor. în cazul în care sau

unde - constantele arbitrare. Astfel, în conformitate cu punctul (4) numai funcția

ecuația Satisface (1) și condițiile la limită (3).

Forma seriei formale (ca suma deciziilor)

și solicită ca funcția îndeplinește condiția inițială (2). obținem

Numărul rezultat este o extindere a unei serii Fourier sinusoidală în intervalul. Coeficienții acestei serii sunt date de formulele cunoscute

Astfel, funcția definită ca o serie de (8), coeficienții care sunt determinate de formulele (9) este soluția problemei (1) - (3).

Găsiți o soluție pentru ecuația căldurii neomogene

îndeplinește condiția inițială

și zero condiții (omogene) la limită:

Să presupunem că funcția este continuă și are un derivat continuu, și pentru toată starea.

Soluția (10) - (12) va fi solicitată în forma

unde - este soluția problemei

și funcția - este soluția problemei

Problema (15) - este sarcina 1 și soluția este cunoscută.

Luați în considerare problema (14). Vom căuta soluția în forma unei serii

în funcții proprii corespunzătoare Sturm-Liouville (7)

Substituind (16) în ecuația diferențială (14) \ pentru a găsi derivați de:

Ca rezultat, vom obține schimbarea

Expand funcția într-o serie Fourier de sinus

Ecuațiilor diferențiale care rezultă, este necesar să se adauge condițiile inițiale ale problemei (14):

Soluționăm obișnuită metodă ecuație diferențială Bernoulli.

Substitutiv (17) în (16) se obține soluția (14)

Funcția este o soluție de 2.

Găsiți soluția ecuației neomogene

îndeplinește condiția inițială

și condiții limită neomogene:

Prezentăm o nouă funcție necunoscută. unde

Funcția vom găsi soluția ecuației

cu condițiile inițiale

și condițiile limită

atunci soluția va fi redusă la problema 2.

Pentru existența unei soluții clasice a problemei 3, trebuie să funcționeze. . Ele sunt continue și ar trebui să negocieze condițiile. .

Pentru funcția. continuă în principiu închis regiunea deține valoarea maximă.

Teorema. Dacă funcția. satisface ecuația conducției căldurii la punctele din zonă. valorile maxime și minime ale funcției sunt atinse sau la momentul inițial. sau la punctele de frontieră și segmentul.

Principiul maxim presupune două teoreme

Teorema. (Unicitatea) Soluția 3 într-un dreptunghi este unic.

Teorema. Soluția 3 este dependentă în mod continuu pe funcțiile inițiale și la limită.

- o sarcină (14), în care. . Soluția este după cum urmează: