metoda de inducție

Una dintre cele mai importante metode de dovezi matematice de pe dreapta este metoda de inducție matematică. Marea majoritate a formulelor care se aplică tuturor numărul natural n. poate fi dovedit prin inducție (de exemplu, formula cantități primele n termenii unei progresii aritmetice, lui Newton binomial formula etc.).

În acest articol, în primul rând se concentreze pe conceptele de bază, apoi ia în considerare te metoda de inducție matematică și să analizeze exemple de aplicare a acesteia în dovada egalități și a inegalităților.

Navigare în pagină.

Inducție și deducție.

Inducerea se numește trecerea de la privat la afirmații generale. Dimpotrivă, trecerea de la declarații general la particular numit deducere.

Un exemplu al situațiilor particulare: 254 împărțit la 2, fără rest.

greutate mai mare de afirmații generale pot fi formulate din această declarație specială, atât adevărat și fals. De exemplu, o afirmație mai generală că toate numere întregi de patru ori împărțit la 2, fără un rest este adevărat, și afirmația că toate numerele de trei cifre sunt împărțite la 2, fără un rest este fals.

Astfel, inducerea oferă un set de afirmații generale, pe baza unor fapte cunoscute sau evidente. O metodă de inducție matematică este conceput pentru a determina validitatea acuzațiilor.

Ca un exemplu, să ia în considerare secvența numerică :, n - număr natural. Apoi, secvența sumelor primelor n elemente ale acestei secvențe este următoarea

Pornind de la acest fapt, se poate argumenta prin inducție.

Dovada acestei formule dau mai jos.

Metoda de inducție.

Metoda se bazează pe principiul inducției matematice de inducție matematică.

Se compune din următoarele: o afirmație este adevărată pentru orice număr întreg pozitiv n. dacă

1. deține pentru n = 1 și
2. valabilitatea aprobărilor pentru orice întreg pozitiv arbitrar n = k implică valabilitatea acestuia pentru n = k + 1.

Adică, dovada metodei inductiei matematice se realizează în trei etape:

1. verificat mai întâi afirmație pentru orice număr natural n (în mod obișnuit de a face pentru n = 1);
2. În al doilea rând, se presupune că afirmația pentru orice n naturale = k;
3. În al treilea rând, afirmația este demonstrată pentru numărul n = k + 1. pornind de la premisa celui de al doilea paragraf.

Exemple de probe de ecuații și inegalități prin inducție.

Revenind la exemplul anterior, și dovedesc formula.

Metoda de inducție necesită o dovadă a trei puncte.

1. Verificăm că pentru n = 1. Avem. Este adevărat egalitate.
2. Să presupunem că există o formulă corectă.

Vom demonstra că pornind de la egalitatea echitabilă de-al doilea paragraf.

Suma k + 1 primii termeni de secvență este suma primilor k termeni ai secvenței inițiale a numerelor și elementul k + 1-lea:

Începând cu al doilea paragraf,

Rămâne să aducă la un numitor comun al fracțiunii, pentru a aduce astfel de termeni, utilizați formula de pătrat multiplicare prescurtata a sumei și de a face reduceri:

Prin urmare, ne-am demonstrat egalitatea celui de al treilea paragraf.

Astfel, toate cele trei etape ale metodei inductiei matematice, și astfel a demonstrat ipoteza noastră despre formula.

Să ne uităm la o problemă trigonometrice.