Legile de bază ale distribuției variabilelor aleatoare continue
distribuție 1.Ravnomernoe. Distribuția de probabilitate a variabilei aleatoare continue X, primind toate valorile în intervalul [a, b], numită uniformă, dacă densitatea de probabilitate este constantă pe acest segment, și este egal cu zero, adică
Dar, așa cum este bine cunoscut (a se vedea punctul 2.5, punctul 2),
Dintr-o comparație a (2.20) și (2.21) obținem c =
Deci, densitatea de probabilitate a continua variabila aleatoare X este uniform distribuit pe intervalul [a, b], are forma
Exemplu. Pe intervalul [a, b], punct aleatoriu .Kakova indică probabilitatea ca acest punct va fi în jumătatea din stânga a segmentului?
Notăm cu X variabila aleatoare egală cu coordonatele punctului selectat. X este uniform distribuit (acesta este sensul exact al cuvintelor „la punct aleatoriu la punctul“), precum și mijlocul segmentului [a, b], are coordonatele. probabilitatea este necesar (a se vedea punctul 2.5, paragraful 2):
Cu toate acestea, acest rezultat a fost clar încă de la început (a se vedea punctul 1.2, punctul 1).
dreptul de distribuție 2.Normalny. Legea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare X continuă se numește lege normală. sau legea lui Gauss [1] în cazul în care densitatea este probabilitatea
unde a este o constantă, și.
Să ne arate că funcția (2.22) satisface (2.17). Într-adevăr merge integralei (2.23)
La un nou t variabila = (2.24)
Dar (a se vedea apendicele 1).
Prin urmare, integral (2.23), este, de asemenea, egal cu unu.
Această din urmă sumă este preluată de toate valorile x1 primite X. variabilă aleatoare În consecință (a se vedea. § 2.2, p. 1)
Folosind proprietățile dispersiei (§ 2.3, n. 2), precum și starea teoremei, obținem
Prin urmare, având în vedere (2.35) și faptul că probabilitatea oricărui eveniment nu depășește o (§ 1, p. 3), obținem
În cele din urmă, de cotitură în (2.36), la limita ca n → ∞, sub-go relația necesară (2.34).
Un caz special de teorema lui Cebîșev. Dacă toate A * au aceeași așteptarea M (X1) =. M = (Xn) = A și D (Xk)<с, k= 1. n, то
Într-adevăr, premisa cazul particular al ecuației (2.34) are forma (2.37).
Esența teorema lui Cebîșev este după cum urmează. În ciuda faptului că fiecare dintre variabilele aleatoare independente X k poate lua o valoare de departe de așteptările M (Xk), media aritmetică a unui număr suficient de mare de variabile aleatoare, cu o probabilitate ridicată este foarte aproape de media Arif-meticheskomu așteptările lor matematice.
Teorema lui Cebîșev este de mare importanță practică. Să presupunem, de exemplu, pentru a măsura anumite cantități fizice. Plain-dar ia ca valoarea dorită a valorilor măsurate media aritmetică a mai multor măsurători. WMS-dar considerăm această abordare corectă? Cebîșev Teorema (de multe ori caz) răspunde la această întrebare afirmativ.
Cebîșev bazată pe teorema este utilizat pe scară largă în metoda tic-eșantionare STATIS, conform căreia, la proba relativ ridicată neîntâmplătoare a unei hotărâri privind totalitatea obiectelor. Din teorema lui Cebîșev (un caz special) ar trebui să teorema lui Bernoulli, care este cea mai simplă formă a legii numerelor mari.
Teorema lui Bernoulli. Să m este numărul de apariții ale unui eveniment A în studii independente n, iar p este probabilitatea de rulare-TION a evenimentului A în fiecare dintre teste. Apoi, indiferent de numărul pozitiv,
Dovada. Xk denota variabilă aleatoare egal cu numărul de apariții ale unui eveniment A in proces k, unde k = 1, 2. n. Apoi, avem (§ 2.4, p. 1)
și toate condițiile de caz special al teoremei lui Cebîșev sunt îndeplinite. Ecuația (2.37) este convertită în ecuația (2.38).
Sensul practic al teoremei lui Bernoulli este după cum urmează: în probabilitate post-yanstve a unui eveniment aleatoriu în toate testele cu o creștere nelimitată a numărului de teste pe care le poate, probabil, Stu arbitrar aproape de unitate (de exemplu, în mod arbitrar aproape de certitudine ..), susțin că observată relativă Toth-oră eveniment aleator se va abate de la oarecum puțin probabilitatea.
§ 2.9. Teoreme limită de teoria probabilităților
1. Limita centrală Teorema. După cum sa menționat deja, variabile aleatoare În mod normal distribuite sunt prostranenie pe scară largă în practică Ras. Explicația pentru acest lucru dă teorema limită centrală, o variantă a textului românesc aparține matematică A. M. Lyapunovu (1857-1918). Esența teorema limitei centrale este după cum urmează: în cazul în care valoarea de ceai SLE X reprezintă suma număr foarte mare de variabile aleatoare independente, impactul fiecăreia dintre care întreaga sumă este neglijabilă, atunci X are o distribuție aproape normală pe termen.
Prezent fără dovezi (dovada a se vedea ref. [3]), teorema limită centrală pentru variabilele aleatoare distribuite caz identic.
Teorema. Dacă X1. X2. Xn fi variabile aleatoare independente HN având aceeași distribuție cu așteptarea matematică-niem # 945; și varianța # 963; 2. apoi creșterea nelimitată n valoarea legii de distribuție a X = X1 + X2 +. + Xn mod arbitrar aproape de normal.
2. Teorema limită locală și integrantă a Laplace.
În cazul în care numărul de încercări n este mare, formula de calcul Bernoulli devine dificilă. * Laplace a fost o importantă formulă de aproximare pentru calcularea probabilității Pn (m) aparițiile A exact m ori, în cazul în care n - un număr suficient de mare. El a obținut, de asemenea, o formulă aproximativă pentru valoarea formei
O teorema limită locală de Laplace. Fie p = P (A) - probabilitatea evenimentului A cu 0 funcție # 966; (x), un tabel (a se vedea apendicele 2) Valorile sale pentru valori pozitive ale lui x [funcții. # 966; (X) este chiar]. Ecuația (2.39) se numește formula Laplace. Exemplul 1. kill probabilitate ochitor când odi scop-noapte împușcat p = 0,2. Care este probabilitatea ca la 100 te-sageti-țintă vor fi distruse exact de 20 de ori? Aici, p = 0,2, q = 0,8, n = 100 și m = 20. Prin urmare, Exemplul 2. Probabilitatea ca produsul nu este verificat OTC-ku, p = 0,2. Să ne găsim probabilitatea ca printre 400 de articole selectate aleatoriu va fi debifată 70-100. Aici, n = 400, k = 70, l = 100, p = 0,2, q = 0,8. Prin urmare, de ra-egalitati (2.44) xk = -1,25, xl = 2,5 și, în conformitate cu formula (2.46) Notă: Rețineți că teorema locală și integrală pre-sensibil Laplace este numit uneori integrantă-tral teoremele limită * Moivre locale și - Laplace. 3. Distribuția erorilor de măsurare aleatoare. Să Xia efectuează măsurarea unor cantități. Diferența X-a între rezultatele măsurătorii, că x și valoarea reală și valoarea măsurată este numită eroare de măsurare. Datorită impactului asupra măsurătorilor-a stabilit un număr mare de factori care nu pot fi luate în considerare (modificări aleatorii de temperatură, dispozitivul de oscilație, erori care rezultă din rotunjire și m. P.), o eroare de măsurare poate fi considerată suma unui număr mare de variabile aleatoare independente, care este teorema limită centrală trebuie să este în mod normal, tributed-distribuție. În cazul în care acest lucru nu este factorii care influențează în mod sistematic (de exemplu, defectarea dispozitivelor, supraestimează la fiecare lecturi de măsurare), ceea ce duce la Cams sistematice de eroare, atunci așteptarea erorii aleatoare este zero. Deci, luați poziția: în absența unei erori sistematice de măsurare a factorilor de operare este o variabilă aleatoare (notată cu T), în mod normal distribuite, cu speranța sa-mat matematic este zero, adică, densitatea de probabilitate VE-măști T este .. unde # 963; - abaterea medie pătratică a liantului T caractere răspândit în jurul rezultatele măsurătorilor măsurandului. Rezultatul măsurării este, de asemenea, o variabilă aleatoare (notat cu X), în legătură cu dependența T = X # 945; + T. Prin urmare: M (X) = # 945;, # 963; (X) = # 963; (T) = # 963; și X are o distribuție normală. Rețineți că eroarea aleatorie de măsurare, precum și rezultatele măsurătorilor, exprimate întotdeauna în unele unități întregi con-pas asociat cu scala contorului; în teoria erorii aleatorii convenabil să-și asume o variabilă aleatoare continuă, care simplifică calculele. La măsurarea cele două situații sunt posibile: a) cunoscută # 963; (Această caracterizare dispozitiv și starea complexă, Wii, în care se efectuează măsurătorile) este necesar ca rezultat al b) # 963; Nu se cunoaște, este necesar pentru a evalua rezultatele măsurătorilor Luarea în considerare a acestor situații în timpul reniu fizice măsurabile va fi dedicată § 4.3 1. Să variabila aleatoare X numărul de puncte a scăzut la zaruri Aruncare syvanii. Găsiți legea de distribuție a random-se afla pe locul X. 39. Luând probabilitatea nașterii unui băiat și o fată la fel, găsiți probabilitatea ca printre cele patru nou-născuți 2 băieți. 40. Probabilitatea de a lovi o țintă prin tragere la arme p = 0,6. Găsiți speranța matematică a numărului total de hit-uri, dacă ai cheltui 10 fotografii. 41. Găsiți așteptarea numărului de bilete de loterie, care va cădea pe câștigurile, dacă ați cumpărat 20 de bilete, probabilitatea de a câștiga pentru un bilet este de 0,3. 42. Găsiți varianța variabila aleatoare X - numărul de apariții ale evenimentului A 100 de studii independente, în fiecare dintre care probabilitatea unui eveniment A este egal cu 0,7. 43. Găsiți: a) așteptarea și b) variația numărului de elemente defecte în lotul de 5.000 de articole, în cazul în care fiecare produs poate fi defect, cu probabilitate de 0,02. [A) 100 produse; b) 98] 44. A avut loc 10 studii independente, fiecare dintre care probabilitatea unui eveniment A este 0.6. Ia-varianța variabila aleatoare X - numărul de apariții ale lui A în aceste teste. 45. Găsiți variația variabila aleatoare X - numărul de apariții ale lui A în două procese independente, atunci când M (X) = 0,8. 46. Creșterea unei femei adulte este o variabilă aleatoare distribuită în mod normal cu parametrii: a = 164 cm, s = 5,5. Găsiți densitatea de probabilitate de o asemenea magnitudine. 47. O variabila aleatoare X are o distribuție normală. Medie și deviația standard a acestei valori sunt, respectiv, 0 și 2. Găsiți probabilitatea ca X presupune valoarea aparținând intervalului (-2, 3) 48. O variabila aleatoare X are o distribuție normală. Medie și deviația standard de această magnitudine sunt, respectiv 6 și 2. Găsiți probabilitatea ca X presupune valoarea aparținând intervalului (4, 8). 49. Lăsați greutatea peștelui capturat este supus legii normale cu parametrii a = 375 g; s = '25 Găsiți probabilitatea ca greutatea peștelui capturat va fi 300-425 50. Diametrul piesei de prelucrat, fabricat într-un magazin, este o variabilă aleatoare normal distribuită. Dispersia este 0,0001, iar așteptarea - 2,5 mm. Găsiți limitele în care au încheiat cu o probabilitate de 0.9973 diametru luate la întâmplare părți. 51. O variabila aleatoare X are o distribuție normală. Abaterea standard a acestei valori este de 0,4. Ia probabilitatea ca aleatoare X abaterea variabilă de așteptare valoarea absolută este mai mică de 0,3. 52. O variabila aleatoare X are o distribuție normală. Abaterea standard a acestei valori este 2. Găsiți probabilitatea ca aleatoare X abaterea variabilă de așteptare valoarea absolută este mai mică de 0,1. 53. aleatoare X variabilă se supune legii de distribuție normală 30 cu speranța și variația 100. Găsiți probabilitatea ca valoarea variabilei aleatoare se află în intervalul (10; 50). 54. Găsiți variația X. tabelul aleatoare variabilă de distribuție predeterminată: 55. La elaborarea unei probabilități de producție în masă a unui produs non-standard este 0.01. Care este probabilitatea ca o alerga de 100 de articole ale acestui produs 2 produse sunt non-standard? 56. La uzina a venit detaliile de partid în cantitate de 1000 buc. Probabilitatea ca o parte ar fi defect, este egal cu 0,001. Care este probabilitatea ca vor exista 5 dintre piesele defecte au sosit? 57. zaruri arunca de 80 de ori. Se determină probabilitatea ca numărul 3 apare de 20 de ori. 58. Instalați modul de proces, planta produce o medie de 70% din produsele din clasa întâi. Se determină probabilitatea ca în 1000 numărul de produse de primă clasă a făcut între 652 și 760. 59. Probabilitatea unui eveniment aleator într-un proces separat este p. Se determină probabilitatea ca în n studiile evenimente se produce k ori la rând. 60. Contorizarea aruncarea în timp ce zar n numărul de rezultate în care o anumită linie apare k ori.
măsurători pentru a evalua # 945 ;;
# 945; și # 963;.