Integrarea prin părți, teorie și exemple

Integrarea prin parti - un mod de a găsi integralei. Metoda constă în următoarele: dacă funcția integrantul poate fi reprezentată ca un produs a două funcții continue în loc cu derivatul său (din care fiecare poate fi fie funcția elementară și compoziția elementară), următoarea formulă calele:

Se numește formulă de integrare de către părți.

Se presupune că integrala a găsi mai ușor decât integrală. În caz contrar, aplicarea metodei în mod inutil.

Dovada integrării de către părți

Dovada. Pentru produsul diferențială a două continue împreună cu derivații ei funcțiilor avem ecuația:

Integrarea ultima ecuație:

Sau dacă rescrisă într-o formă diferită, avem:

QED.

Ultima egalitate este valabilă până la o constantă, care apare în timpul integrării.

Astfel, integrarea prin părți este predeterminat că integrandul integralei reprezentat în nici un fel ca un produs a doi factori, și (poate fi adesea realizată în mai multe moduri); apoi, după ce a constatat (disponibil de la integrare) și (expresie pentru a diferenția), formula utilizată pentru integrarea de către părți.

Când găsirea funcția prin integrarea, constanta poate presupune a fi zero.

Uneori, pentru a rezolva integralele complexe formula de integrare prin părți trebuie să fie utilizate de mai multe ori.

Pentru anumite tipuri de lapte praf utilizare integralelor

Unele tipuri de integralei care sunt convenabil calculate prin metoda de integrare de către părți.

Aici - polinom. În acest caz, precum și de a lua toți ceilalți factori din integrandul.

Aici trebuie să luați, și apoi - toți ceilalți factori.

Pentru tine poate lua funcția.

Dupa cum se poate lua, de asemenea, o funcție trigonometrice.

Ca și în acest caz, ia exponent, avem:

Am primit integral, care este metoda de integrare de către părți. Prin urmare, vom aplica din nou. Aici, din nou, după cum vom lua funcția de:

Deci, am ajuns la original integrala. Scriem ecuația integrală (în ultima serie de formule expresii subliniate):

Rezolvarea ecuației scrise în necunoscut integral, avem:

Adăugarea unui alt constant de integrare, și în final avem: