Geometrie (7-9)
Proprietăți și indicații de linii paralele.
linii paralele 1.Aksioma. Prin acest punct puteți petrece mai mult de o linie paralelă cu acest lucru.
2. Dacă două linii drepte paralele cu aceeași linie dreaptă, atunci ele sunt paralele între ele.
3.Dve drept, perpendicular pe aceeași linie dreaptă paralelă.
4. Dacă două linii de cruce a treia, apoi formată prin acest unghiuri interioare situate în cruce sunt egale; unghiurile respective sunt egale; Unghiurile interioare unilaterale adăuga până la 180 de grade.
5. Dacă la intersecția a două linii formate în cruce situate unghiuri interioare terțe egale, atunci liniile sunt paralele.
6. Dacă la intersecția a două formă treia unghiuri drepte corespunzătoare egale, atunci liniile sunt paralele.
7. Dacă la intersecția a două treimi sumă drepte unghiurilor interioare este o față de 180 de grade, liniile sunt paralele.
Dacă pe de o parte a unghiului de a întârzia segmente egale și prin capetele lor să dețină linii paralele care se intersectează a doua latură a unghiului, apoi amânat ca segmente egale pe a doua latură a unghiului.
Teorema pe intervale proporționale.
Liniile paralele se intersectează laturile de colț, tăiate pe lungimea lor proporționale.
Semne de egalitate de triunghiuri.
În cazul în care cele două părți și unghiul dintre ele a unui triunghi sunt egale cu două laturi și unghiul dintre ele a unui alt triunghi, atunci triunghiuri sunt egale.
În cazul în care partea și două adiacente unghiul său de un triunghi sunt egale cu latura și adiacent la cele două colțuri ale altor triunghi ei, atunci triunghiuri sunt egale.
În cazul în care trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu cele trei laturi ale unui alt triunghi, atunci triunghiuri sunt egale.
Semne de egalitate de triunghiuri drepte.
Pentru două Catete.
Potrivit picior și un ipotenuză.
De-a lungul ipotenuzei și un unghi ascuțit.
Pe un picior și un unghi ascuțit.
Teorema privind suma unghiurilor unui triunghi și consecințele acesteia.
Cantitatea triunghiului interior unghiuri egale cu 180 de grade.
Unghiul exterior al triunghiului este egală cu suma a două unghiuri interioare neadiacente cu ea.
Suma unghiurilor interioare ale unui poligon convex este 180 n (n-2).
Suma colțurile exterioare n fețe poligon este de 360 de grade.
Unghiuri cu laturile perpendiculare reciproc sunt egale, dacă acestea sunt atât ascuțite sau ambele bont.
Unghiul dintre Bisectoarele unghiuri adiacente este de 90 de grade.
Cele Bisectoarele unghiuri la linii paralele interne unilaterale perpendicular și intersectând.
Proprietățile de bază și caracteristici ale unui triunghi isoscel.
Unghiurile de bază ale unui triunghi isoscel sunt egale.
Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale, atunci este isoscel.
Într-un triunghi echilateral, mediana, bisectoarei și altitudinea, realizată la baza aceeași.
Dacă triunghiul este la fel ca orice pereche de segmente ale mediana triplete, bisectoarea, altitudinea, atunci este un triunghi isoscel.
inegalitatea triunghiului și consecințele sale.
Suma celor două laturi ale triunghiului pe la o terță parte.
unități de cantitate mai mare segment inclinata aderarea la începutul până la sfârșitul primei legături a acestuia din urmă.
Împotriva unghiuri mai mari de un triunghi este o mare petrecere.
Împotriva cele mai multe laturi ale unui triunghi este mai mare unghi.
Ipotenuzei un picior mai lung triunghi dreptunghic.
În cazul în care a avut loc la un punct perpendicular pe linie dreaptă și înclinată,
perpendicular pe scurt înclinate;
proiecție mai înclinată corespunde unui mare și vice-versa.
Linia mediană a triunghiului. Segmentul care leagă mijlocul laturile unui triunghi se numește linia de mijloc a triunghiului.
Teorema pe linia medie a triunghiului. Linia mediană a triunghiului este paralelă cu latura triunghiului și este egală cu jumătate său.
Teorema pe medianele triunghi.
Medianele triunghiului se intersectează la un moment dat și partajați-l într-un raport de 2: 1, numărate din partea de sus.
Dacă mediana unui triunghi este egală cu jumătate din latura la care se realizează, atunci triunghiul este dreptunghic.
Mediană a unui triunghi dreptunghic, realizat din partea de sus a unghiului drept este egală cu jumătate din ipotenuzei.
midperpendiculars de proprietate pe laturile triunghiului. Mid-perpendicularele pe laturile triunghiului se intersectează într-un punct care este centrul cercului circumscris despre triunghiul.
Teorema la altitudini ale unui triunghi. care conțin înălțimi directe triunghi se intersectează la un moment dat.
Teorema pe Bisectoarele unui triunghi. Bisectoarea triunghiului se intersectează într-un punct care este centrul unui cerc înscris în triunghiul.
Proprietatea este un triunghi bisectoare. Triunghiul Bisectoare împarte partea lui în segmente proporționale cu celelalte două părți.
Criterii de similitudine a triunghiuri.
Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu două unghiuri ale unui alt triunghi, atunci triunghiuri sunt similare.
în cazul în care cele două părți ale unui triunghi sunt proporționale cu cele două laturi ale alta, iar unghiurile încheiate între aceste părți sunt egale, atunci triunghiuri sunt similare.
Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu trei laturi ale celuilalt, atunci triunghiuri sunt similare.
Pătratul triunghiuri similare.
Raportul suprafață de triunghiuri similare similitudinii factor egal cu pătrat.
Dacă două triunghiuri au unghiuri egale, atunci domeniile lor sunt ca opere de partide care intră în aceste colțuri.
Într-un triunghi-dreapta
Leg triunghi dreptunghiular ipotenuzei este egal cu produsul dintre sinusul sau cosinusul adiacent cu care se confruntă cu cateta acest unghi ascuțit.
Leg unui triunghi dreptunghic egal cu celălalt cateta, înmulțită cu tangenta sa opus sau adiacent cotangentă unghiului ascuțit catete.
triunghi dreptunghiular picior situată față de un unghi de 30 grade este egal cu jumătate din ipotenuza.
Dacă piciorul triunghi dreptunghiular ipotenuzei este egal cu jumătate, colțul opus cateta, este de 30 de grade.
, unde a, b- picioarele și c- ipotenuza unui triunghi dreptunghic, r și R - raza cercurilor inscriptionare circumscrise respectiv.
teorema lui Pitagora și teorema este inversul teorema lui Pitagora.
Pătratul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi.
Dacă partea pătrată a triunghiului este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, triunghiul - dreptunghiular.
aspect mediu într-un triunghi dreptunghic.
Înălțimea unui triunghi dreptunghic, realizat din partea de sus a unghiului drept, este media proporțională cu proiecția picioarelor pe ipotenuza, iar fiecare picior are o medie proporțională a ipotenuzei și proiecția acesteia pe ipotenuza.
rațiometrice unui triunghi.
partea pătrată a triunghiului este egal cu suma pătratelor celorlalte două părți, fără a dublului produs al acestor părți prin cosinusul unghiului dintre ele.
Investigarea cosinusul.
Suma pătratelor diagonalele unui paralelogram este egală cu suma pătratelor tuturor acestor partide.
Formula pentru medianele unui triunghi.
Dacă triunghiul median efectuat la M lateral c, atunci m = b-, în care a și laturile rămase ale triunghiului.
Laturile triunghiului sunt proporționale cu Sines unghiurilor opuse.
Teorema Generalizat sine.
Raportul dintre laturi ale triunghiului la sinusul un unghi egal cu diametrul opus al cercului unui triunghi.
Formula suprafață a triunghiului.
Suprafața unui triunghi este egală cu jumătate din baza de produs și înălțimea.
o bază, înălțimea h- a triunghiului.
2. Aria triunghiului este egală cu jumătate din produsul a două laturi prin sinusul unghiului între acestea. S =
3. Aria triunghiului este egală cu produsul dintre raza semiperimetrul cercului inscris. S = pr.
4. Aria triunghiului este egală cu produsul dintre cele trei laturi sale, cvadruplu împărțită la raza cercului circumscris. S =
5. Formula lui Heron: S =, unde semiperimetrul P-, a, b, laturile ale triunghiului c-.
Elemente de triunghi echilateral.
Să h, S, r, R - înălțimea, zona, razele cercurilor inscriptionare circumscrise ale unui triunghi echilateral cu partea a. atunci
Paralelogram numite laturi opuse patrulatere, dintre care sunt paralele.
Proprietățile și indicii ale unui paralelogram.
Diagonală împarte paralelogramului în două triunghiuri egale.
laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale.
Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale.
diagonalele de paralelogram se intersectează și împărtășesc punctul de intersecție a două.
În cazul în care laturile opuse ale unui patrulater sunt egale, atunci acest paralelogram chetyrohugolnik-.
În cazul în care cele două părți opuse ale unui patrulater sunt egale și paralele paralelogram, chetyrohugolnik-.
În cazul în care diagonalele patrulaterului divizat punctul de intersecție în jumătate, acest paralelogram chetyrohugolnik-.
Proprietate a punctelor mediane laturile patrulaterului.
Puncte de mijloc ale părților laterale ale oricărui patrulater sunt vârfurile unui paralelogram a cărui suprafață este de jumătate din suprafața patrulaterului.
Dreptunghiul este numit un paralelogram cu un unghi drept.
Proprietăți și indicații ale dreptunghiului.
Diagonalele unui dreptunghi sunt egale.
În cazul în care diagonalele unui paralelogram sunt egale, atunci acest paralelogram - un dreptunghi.
dreptunghi pătrat este numit, toate părțile sunt egale.
Rhombus numit patrulater, toate părțile sunt egale.
Proprietățile și caracteristicile diamant.
Diagonalele unui romb sunt perpendiculare.
Diagonalele unui romb împărți în două colțuri.
În cazul în care diagonalele unui paralelogram sunt perpendiculare, acest diamant parallelogramm-.
Trapeze numit patrulater, în care numai cele două laturi opuse (baze) sunt paralele. Linia mediană a trapezului este numit segmentul care leagă mijlocul laturilor neparalele (margini).
Teorema pe linia mediană a trapezului. Linia de mijloc paralel cu bazele trapezului și este egală cu jumătate din suma acestora.
Segmentul care conectează mijlocul trapezului diagonalele este semidiferența
O proprietate remarcabilă a trapez. Punctul de intersecție al diagonalelor trapezului, punctul de intersecție al extinderi ale părților laterale și mijlocul motivelor se află pe o singură linie.
trapez isoscel. Trapez isoscel numit în cazul în care laturile sale sunt egale.
Proprietățile și indicii ale unui trapez isoscel.
Unghiurile de bază ale trapezelor isoscele sunt egale.
Diagonalele unui trapez isoscel sunt egale.
Dacă unghiurile de la baza trapezului sunt egale, atunci este isoscel.
În cazul în care diagonalele trapezului sunt egale, atunci este isoscel.
Proiecția laterală a unui trapez isoscel este egală cu baza de jumătate de bază și Diagonalizarea proiecție la baze jumătate.
Formula suprafață a patrulaterului.
Suprafața unui paralelogram este egală cu produsul de bază și înălțimea.
Aria paralelogramului este egală cu produsul dintre laturile sale adiacente sinusul unghiului între acestea.
Zona este produsul a două laturi adiacente. S = ab.
Zona de romburi este egală cu jumătate din produsul din diagonalele sale. .
Zona de trapez este egală cu produsul jumătății totalul bazelor de sus. .
Suprafața patrulaterului este egală cu jumătate din produsul diagonalelor pe sinusul unghiului între acestea. .
Formula lui Heron pentru patrulateră, în jurul căruia un cerc poate fi descris prin: S = în care a, b, c, laturile d- ale acestui patrulater, semiperimetrul P- zona S-.
Raportul elementelor liniare ale unor astfel de forme egale cu coeficientul de similitudine corespunzător.
Un raport al suprafeței de aceste cifre este pătrat factorul de scalare.
Teorema. În orice cerc de poligon regulat poate fi înscris, și numai unul atunci.
Un cerc înscris într-un poligon regulat atinge laturile poligonului la punctele lor.
Centrul cercului circumscris în jurul unui poligon regulat coincide cu centrul unui cerc înscris în același poligon.
Să - partea din dreapta a n-gon, zona, perimetrul P, și și - razele cercurilor inscriptionare circumscrise. apoi; ;
Cercul este locul geometric al punctelor într-un plan la distanță de un punct dat, numit centrul cercului pe aceeași distanță pozitivă.
Principalele proprietăți ale cercului.
Diametrul perpendicular pe o coardă împarte coardă și jumătate de arc termocontractibile.
Diametrul care trece prin centrul corzii, care nu este un diametru perpendicular pe acea coardă.
Perpendiculara coarda trece prin centrul cercului.
coardă egală eliminat din centrul cercului de distanțe egale.
Chord cerc îndepărtat de centrul de distanțe egale sunt egale.
Cercul este simetrică în raport cu oricare dintre diametrul său.
Arc încheiat între coardele paralele sunt egale.
Dintre cele două coardele peste cel care este mai puțin scos din centru.
Diametrul este cea mai mare coarda cercului.
Remarcabile proprietăți ale cercului.
Locul geometric al punctelor M, dintre care segmentul AB subîntinde un unghi drept () este în interiorul unui cerc cu diametrul de AB fără puncte ale segmentului AB.
Locul geometric al punctelor din care segmentul este vizibil la un anumit unghi, există două arce egale de cercuri (nu toate aceste arce).
Tangenta la cercul.
O linie dreaptă care are un cerc cu un singur punct comun, numit tangenta la cercul.
Tangenta perpendicular pe raza, a avut loc la punctul de contact.
În cazul în care linia a, care trece printr-un punct de pe cerc perpendicular pe raza, realizată în acest punct, linia a- o tangentă la un cerc.
În cazul în care liniile care trec prin punctul M, tangent la un cerc la punctele A și B, MA și MB =
Documente conexe:
al., „Geometria. 10-. de linii în spațiu. Priznakparallelnosti două linii. Simptom linii oblice. Poziția relativă a celor două planuri. Priznakparallelnosti două planuri. linia Perpendicularitatea. și proprietățile sale. 2. piramidă.
linii oblice; svoystvaparallelnyhpryamyh; și determinarea planul parallelnostipryamoy; priznakparallelnostipryamoy și planul; definesc paralelismul cele două planuri; avioane priznakparallelnosti; svoystvaparallelnyh.
Parallelnostpryamyh și avioane (13 h) Parallelnyepryamye în spațiu. Priznakparallelnostipryamyh. Priznakparallelnostipryamoy și avionul. avioane Priznakparallelnosti. Svoystvaparallelnosti. Compatrioți o geometrie în clasa a 10-a.
linii drepte în spațiu (liniile se intersectează, pryamyeparallelny. încrucișeze dreaptă) linie și un plan (linie dreaptă se află în planul liniilor și plane se intersectează, drepte și paralele cu planul), pentru a studia proprietățile și priznakiparallelnostipryamyh.