Găsirea coeficienților necunoscuți - studopediya

În cazul în care o fracțiune rațională a prim nevoie pentru a găsi coeficienții necunoscuți. Pentru aceste fracții parțiale, partea dreaptă (1.4.5), (1.4.6), (1.4.7), (1.4.8), conduc la un numitor comun. Identitatea acestor ecuații ar fi cazul, dacă acestea sunt polinoame în numărătorul din stânga și din dreapta sunt egale. Prin urmare, aceste polinoame echivala coeficienții numerice ale acelorași puteri ale lui x. Din ecuațiile care rezultă sunt coeficienți necunoscuți.

Exemplul 7. Se descompune în fracții parțiale:

Numitorul este de patru rădăcini: x1 = 0, 1 = h2,3,4 Prin urmare, această fracție poate fi reprezentată ca suma 4 fracții parțiale:

Aici sunt fracții parțiale de pe partea dreapta la un numitor comun:

Egalăm coeficienții numerici ai aceleași puteri ale lui x și y polinoame în numărătorul și aliajul stâng.

Din sistemul de ecuații rezultat vom găsi coeficienții necunoscuți:

Fracțiunea este descompus în elementar:

Exemplul 8. Aranjați fracție parțială

Noi găsim rădăcinile polinomului la numitor:

Această fracțiune este egal cu suma a trei fracții parțiale:

Să ne dea aceste fracțiuni la un numitor comun

A scăpa de numitor, obținem

În acest caz, toate cele trei rădăcini sunt reale și distincte. Prin urmare, coeficienții A, B, C poate fi găsit prin alte mijloace. Înlocuim unul câte unul, în ultima ecuație valorile tuturor celor trei rădăcini:

Hands-on Lab 1.5. Integrarea fracțiunilor parțiale și funcții raționale

1.5.1. Integrarea fracții parțiale

După cum sa menționat deja, o funcție rațională - este raportul dintre două polinoame. Dacă este împușcat greșit, acesta poate fi reprezentat întotdeauna ca partea întreagă (polinom), plus o fracție rațională adecvată. La rândul său, fracția rațională corespunzătoare, în funcție de ce rădăcinile polinomului numitorului este, descompus în fracțiuni parțiale de 4 tipuri:

Integralelor fracțiunilor parțiale ale tuturor celor 4 tipuri sunt exprimate în termeni de funcții elementare:

integrantă a formularului găsit prin selectarea pătratului completă la numitor, ca urmare, el vine la masa.

Exemplul 1. Găsiți integralei.

Decizie. Oferă 2 în numitorul suportul și selectați un pătrat perfect:

Exemplul 2. Găsiți integralei

Decizie. Selectați pătrat perfect numitor:

și introducerea unei noi variabile t = x + 3.

O metodă pentru identificarea integrala bazată pe recepție, ceea ce duce la o scădere a gradului de polinomului pătratic la numitor. În general, calculul este foarte greoaie, așa că ia în considerare un exemplu specific.

Exemplul 3. Se calculează integrala:

Distingem în numărătorul derivata numitorului, atunci integrala este împărțit în două:

Primul - este integrala unei funcții de putere.

În al doilea rând vom calcula separat.

Coborâți gradul de numitorul 2a integralei după cum urmează:

Numărătorul ultimei integralei vom adăuga și scade T 2:

Ca rezultat, J2 integrantă - din nou împărțită în două, dintre care unul este intabulat, celelalte pot fi luate în rate:

Substituind valoarea J2 în expresia originală, în sfârșit obținem:

1.5.2. Integrarea funcțiilor raționale

Pentru a găsi integralei unei fracții raționale necesare:

1. izola partea întreagă dacă funcția rațională este fracțiune necorespunzătoare;

2. au primit fracția corespunzătoare pentru a găsi rădăcinile numitorului și mintea a găsit rădăcinile pentru a înregistra fracția corespunzătoare ca suma fracțiunilor parțiale cu coeficienți necunoscuți;

3. găsi coeficienții nedeterminat în fracțiuni parțiale;

4. integrarea părții întregi și fracții parțiale.

Exemplul 4. Se calculează integralei

Într-o funcție rațională sub semnul integrală, gradul de numărătorul peste polinomul numitor.

Fracțiunea greșit, astfel încât vom selecta partea întreagă:

Apoi integrala original poate fi scris ca:

Numitorul fracției corect recepționat stând sub semnul a doua multiplilor integrale are rădăcini reale. Fraction este descompus într-o formă simplă:

Pentru a găsi coeficienții A. B, C dau fracții parțiale la un numitor comun

Asimilarea coeficienții de aceleași puteri x polinoame y în numărătorul din stânga și din dreapta, obținem:

integreze fracții parțiale.

Substituind în original, integral, în cele din urmă am obține:

Decizie. Fracțiunea corectă, extinde numitorul de factori, după cum urmează:

A primit trei prim factor de putere corespunzător rădăcinilor: 0, 2 și -2, fiecare multiplicitate rădăcină 1.

Fracțiunea este descompus în elementar:

Inmultiti ambele părți printr-o descompunere x numitor comun (x - 2) (x + 2).

rezultatul

Numitorul comun are trei rădăcini reale. Substituind fiecare dintre ele pe partea stângă și dreaptă a ecuației 1.5.1, găsim valorile coeficienților necunoscuți A, B și C.

9 x 2 0 - 2 0 x - 8 = A (0 - 2) (0 + 2) + B x 0 x (0 + 2) + C x 0 x (0 - 2); -8 = -4A Þ A = 2

9 × 2 2 - 2 x 2 - 8 = A × (2 - 2) x (2 + 2) + B x 2 x (2 + 2) + C x 2 x (2 - 2) 9 × 4 - 4 - 8 = 0 × A + 8 × B + 0 × C; 24 = 8B Þ B = 3

9 × (-2) 2 - 2 x (-2) - 8 = = A x (-2 - 2) x (-2 + 2) + B x (-2) x (-2 + 2) + C × (-2) x (-2 - 2); 9 × 4 + 4-8 = A + B x 0 x 0 + C × 8; 32 = 8C Þ C = 4

Acești factori pot fi obținute prin alte mijloace.

Echivalând coeficienții aceleași puteri ale lui x în stânga și dreapta în ecuația (1.5.1) obținem sistemul de ecuații:

Rezolvarea acestui sistem, vom găsi aceeași valoare a coeficientului
A = 2; B = 3; C = 4.

În cazul în care decizia este de obicei combina ambele metode.

Înlocuirea sub fracțiunea integrantă a descompunerii în fracții parțiale și găsirea integralele, obținem succesiv

Decizie. Numitorul nu are rădăcini reale, care este luat de gradul al doilea.

Descompunerea integrantul în fracții parțiale este după cum urmează:

Înmulțind ambele părți ale acestei ecuații de numitor comun. obținem:

Asimilarea coeficienții de puteri, cum ar fi de x, avem: