funcții exponențiale și logaritmice ale funcției exponențiale

CAPITOLUL 6. Funcții exponențiale și logaritmice

6.1. funcție exponențială

Funcția y = ax. în cazul în care un - un anumit număr, numit o funcție exponențială a variabilei x.

Dacă un> 0. funcția y = ax este definit pentru toate valorile reale x, în plus, atunci când a = 1, avem 1x = 1.

Dacă un x este definit numai pentru întreg x (cu condiția ca numitorul indicelui - un număr impar).

Când a = 0 0x expresie este definită pentru x> 0.

În legătură cu patrulea set de mai sus, funcția exponențială atunci când se analizează un> 0 și o? 1. Graficul funcției exponențiale este prezentată în (fig. 6.1).

Proprietățile de bază ale funcției exponențiale:

Domeniul definiției D (f) = R; intervalul de variație E (f) = (0, +?).
Pentru a> 1, funcția este :. monoton crescătoare
Când 0, funcția scade :. monoton
În cazul în care. 5 .. 6;

7 .. 8 .. 9 ..

^ 6.2. Funcția logaritmică și proprietățile sale

Definiția. Logaritmul numărul b este numit bază și exponent, pe care doriți să ridice un număr pentru a obține numărul de b, și anume, . Astfel, în cazul în care - funcția inversă. Dacă te duci la notația comună a argumentului și funcția, atunci funcția inversă (logaritmică) va avea forma: y = logax.

Proprietățile funcției logaritmice.

Pentru a> 1, funcția este monoton crescătoare: .Dacă x +? y +??; când x = 0, y - ???.
Când 0, funcția scade monoton:

.Când x? 0, y? +?, Cu x? +. y -??.

.
.
.
- identitatea logaritmică principal.
, unde y1 = logax1, y2 = logax2.

Prin urmare, proprietățile funcției logaritmice determinată de proprietățile funcției exponențiale și graficul funcției logaritmice obținută din graficul funcției exponențiale, dacă swap de axe de coordonate.

^ 6.3. Logaritm și potențare

Logaritm se numește acțiune, care constă în găsirea exponent al acestui grad și nivelul solului.

Logaritmilor expresiei înseamnă să se exprime printr-o componente logaritmi logaritm. Sarcina logaritmilor inverse, numit potențare. expresie logaritmică Propotentsirovat este pe această relație între logaritmii numerelor pentru a găsi relația dintre numere.

Cand a> 0, 1, b> 0, b 1, x> 0, y> 0 egalitățile:

6. - formula de trecere la următoarea bază.

În special: a), b), în cazul în care

e = 2,71828 ... (LNX - logaritm natural)

Exemplu. Logaritm la o expresie de bază.

Exemplu. Demonstrați că.

Decizie. Logaritmul în baza egală cu care va da identitate: astfel, afirmația este demonstrată.

Exemplu. Calculați = A.

Decizie. Ne întoarcem la exponentul la baza 7 și 5.

Exemplu. Găsiți-l pe logaritm:

Definiția. Ilustrativ este o ecuație care conține necunoscută numai în exponent.

Cea mai simplă ecuație exponențială are forma: (6.1)

Mentionam mai multe tipuri de ecuații exponențiale ale căror soluții sunt metode elementare de matematică.

înlocuind f (x) = t reduce la ecuația (6.1).
redus la o ecuatie f (x) = g (x);
logaritm la forma.
înlocuire reduce la ecuația F (t) = 0, și apoi la setul de ecuații: unde rădăcinile.

5 unde A, B, C - sunt constante, și f (x) - o anumită funcție. Înlocuirea t = af (x) se reduce la o ecuație pătratică AT2 + Bt + C = 0. (6.2)

6. despărțitoare, de exemplu, B2F (x), cu înlocuire ulterioară, (t> 0) se reduce la o ecuație pătratică a formei (6.2).

Definiția. Numita ecuație logaritmică conținând necunoscută sau logaritmul în baza logaritmului.

ecuație logaritmică simplă este:

, unde a> 0, a? 1, b R, x> 0. (6.3)

O metodă generală pentru rezolvarea unei ecuații logaritmică nu există, dar există mai multe dintre cele mai frecvente cazuri.

.
potențare conduce la ecuația f (x) = g (x). Rădăcinile ultima ecuație va fi rădăcini ale ecuației inițiale, cu excepția cazului în care aparțin domeniului definiției: f (x)> 0, g (x)> 0.
F (logaf (x)) = 0 substitut logax = t reduce la ecuația F (t) = 0, și apoi la un set de ecuații; ; ... în cazul în care ... rădăcinile sale.
Ecuațiile sunt prevăzute cu diferite baze ecuații cu o singură bază.
Ecuațiile semnificativ, logaritmice.

Ecuația se numește revelator-logaritmice dacă necunoscut parte a bazei și logaritmul grade.

Ca o regulă, logaritm semnificativă-logaritmică ecuație conduce la o logaritmică.

^ 6.5. Exemple de soluții ecuații exponențiale

Exemplu. Găsiți o soluție pentru ecuația exponențială.

Decizie. DHS: x R.

Exemplu. Găsiți o soluție pentru ecuația exponențială

Decizie. TCC: x R. logaritmilor ambele părți ale uneia și aceeași cauză a ecuației 5:

Exemplu. Găsiți o soluție pentru ecuația exponențială.

Decizie. DHS: x R. transforma partea stângă a ecuației.

Exemplu. Găsiți soluția ecuației exponențial-logaritmică

Decizie. DHS: x> 0. logaritmilor ambele părți ale bazei 4.

Facem o schimbare, atunci fie .Otkuda:

Exemplu. Găsiți o soluție pentru ecuația exponențială.

Exemplu. Găsiți o soluție pentru ecuația exponențială. .

Decizie. TCC: x R. Înlocuind 2x = t, t> 0 conduce la o ecuație pătratică dată. .

Exemplu. Găsiți o soluție pentru ecuația exponențială

Decizie. DHS: x R. Rețineți că ecuația apoi ia forma

și înlocuiți unitatea în pătrat: Atunci:

Exemplu. Rezolva ecuația exponențială

Decizie. DHS: x R. înlocuire:

Apoi, răspunsul. x = 20.

Exemplu. Rezolva ecuația exponențială.

Exemplu. Rezolva-grad semnificativ al ecuației.

1) Găsiți rădăcinile ecuației inițiale dintre soluțiile ecuației

. Verificarea ca x = 0 este o rădăcină.

2) Dacă 1 + x2> 1. ecuația echivalentă inițial ecuației

^ 6.6. Exemple de soluții de ecuații logaritmice

Exemplu. rezolva ecuația

Ne întoarcem la bază 4 prin utilizarea formulei de tranziție către o altă bază :.

Exemplu. rezolva ecuația

Decizie. DHS: x-1> 0 x> 1.

Noi obținem ecuația :. Înlocuirea.

Exemplu. Rezolva ecuația.

Decizie. Am găsit niște rezultate. Apoi, efectuați verificările. căutare DHS în acest caz forței de muncă intensivă.

Exemplu. Rezolva ecuația.

Decizie. DHS :. Efectuați potențarea:

În cazul în care răspunsul. x = 8.

Exemplu. Rezolva ecuația.

Decizie. Înlocuiți găsirea rezultatul testului TCC.

Exemplu. Rezolva ecuația.

Ecuația original poate fi reprezentat ca:

Noi vedem că x = 13  TCC, deoarece 13 februarie> 0.

Exemplu. rezolva ecuația

Pentru că, obținem ecuația:

Exemplu. Rezolva ecuația.

Decizie. DHS: x-1> 0 x> 1.

Să log3 (x-1) = y, atunci obținem ecuația: unde și

Exemplu. Rezolva ecuația.

Prin urmare, nu există nici rădăcini reale.

Răspuns. .

Exemplu. Rezolva ecuația.

^ 6.7. Soluție sisteme de ecuații exponențiale și logaritmice

In rezolvarea ecuațiilor exponențiale și logaritmice utilizate aceleași metode ca pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice - combinații liniare de substituție.

Exemplu. Rezolva sistem:

Decizie. DHS: x-y> 0 x> y.

Exemplu. Rezolva sistem:

Pentru că avem un sistem

că înlocuirea ia forma:

Revenind la variabilele originale.

^ 6.8. Soluție exponențială și logaritmice inegalitățile

Estimarea exponentiala la a1 echivalentă cu inegalitatea (semn inegalitate rămâne), iar la 0 a1 echivalentă cu inegalitatea (semn inegalitatea este inversat).

Logaritnica inegalitate a> 1 este echivalent cu sistemul inegalităților și la 0 + x 1> x 5 + 1 120.

problemă Stare satisface x = 3.

Exemplu. Rezolva inegalitatea.

Decizie. Această inegalitate este echivalentă cu sistemul de inegalități:

Am decis la fiecare intervale de inegalitate de către sistem.

Intersecția acestor seturi oferă o soluție la sistemul :.

Exemplu. Rezolva inegalitatea.

decizie inegalitate se reduce la decizia agregatului format din două sisteme de inegalități:

Soluția 1):

Soluția 2):

Soluțiile se combină sisteme. Răspuns.

Exemplu. Rezolva inegalitatea.

Manualul de matematică pentru clase suplimentare cu elevii de 1 curs de formare cu normă întreagă a tuturor specialităților, precum și studenți străini.

Redactat de Elena Semenovna Arhipova,

Lyudmila Aleksandrovna Bystrova,

Valentina P. Protopopov

Evgeniya Serafimovna Pahomova,

Valentina Semenovna Sitnikova.

Responsabil pentru eliberarea SA Staniszewski

Hîrtie de birou Usl.- cuptor. foaie. 5.0. Uch.-ed. l. 5.5.

Zack. № Circulație 150 de exemplare.

KNAME, 61002, Harkov, st. Revoluția 12

Sector tipar offset ICC KNAME

61002, Harkov, st. Revoluția, 12, KNAME

§6 funcții infinit mici și infinit de mare
Definirea f (X) funcția este numită infinitezimale x → x0 (sau la x0) dacă f (X) = 0

Pe studiul conceptelor de „definire și zerouri“
Multe dintre procesele și fenomenele pe care le cunoaștem, sunt descrise de funcția. Deoarece esența conceptului funcției descrise în multe studii.

§ 3 Conceptul de frontieră funcție
Să presupunem că o funcție este definită pe un subset al numerelor reale, iar punctul limită stabilit. Reamintim că, în.

Iii. calcul diferențial
Fie funcția definită pe intervalul (eventual infinit). Ia-un punct arbitrar și arbitrar Să ne dea un câștig.

Iii. Glavavi diferențiale de calcul: derivate si diferentiale
Fie funcția definită pe intervalul (eventual infinit). Ia-un punct arbitrar și arbitrar Să ne dea un câștig.

V: Border și continuitate
Conceptul de funcție se învecinează una dintre cele mai importante din matematici superioare. Prezentarea teoriei limitelor începe prin luarea în considerare funcția de limite naturale.

Activitatea de laborator №10 „instrument de căutare Soluții“
Pentru a face acest lucru, creați un tabel de valori ale funcției. În coloana A, pornind de la primul rând, introduceți valori X: 0, 0,2, 0,4, ..., B1 pentru a intra în celulă.