Funcția lui Green, matematica, fandomului alimentat de Wikia

În matematică, funcția Green este utilizat pentru a rezolva ecuații diferențiale neomogene cu condiții la limită. Funcția unui operator liniar care acționează asupra funcțiilor generalizate ale galeriei de la punctul Green este o soluție în cazul în care - funcția delta Dirac. În cazul în care nucleul este non-trivial, atunci funcția verde nu este unic. Cu toate acestea, în practică, simetrie, condiții la limită și criterii suplimentare permit să aloce funcția numai lui Green. De asemenea, să fie conștienți de faptul că funcția verde nu este o funcție normală și funcțiile generalizate.

Funcția Green poate fi reprezentat ca inversul.

Funcția lui Green este, de asemenea, utilă în teoria materiei condensate în cazul în care acestea permit să rezolve ecuația de difuzie în mecanica cuantică. în cazul în care funcția de Hamiltonianul verde este un concept-cheie și este legată de densitatea de stări. funcțiile Green utilizate în aceste zone sunt foarte similare, deoarece structura matematică a ecuației de difuzie și ecuația Schrödinger sunt similare.

Funcția Green este numit după matematicianul britanic George Green (Format: Lang-en), care a dezvoltat pentru prima oară această teorie în anii 1830.

în conformitate cu Regulamentul

Convoluția funcției Green dă o soluție a ecuației integral-diferențială neomogenă. mai bine cunoscut sub numele de problema Sturm-Liouville. Să - funcția verde a operatorului, atunci soluția ecuației este dată după cum urmează:

Acest lucru poate fi considerat baza pentru extinderea funcției de delta Dirac.

în funcție de aplicarea regulilor Green

Inițial, funcția lui Green pentru rezolvarea problemelor folosite la limită neomogene. În fizică elementară, funcția Green a particulelor folosite ca propagatori în diagramele Feynman ( „funcție verde“, expresia se referă la funcția de corelare în domeniul teoriei cuantice). Funcția Green este utilizat pe scară largă în aplicații de imprastiere teorie fizica stării solide (raze X. Calculele spectrele electronice ale materialelor metalice).

Baseline Editare

Să - operatorul Sturm-Liouville. operator diferențial liniar al formei

și lăsați - operatorul condițiile limită

Să - o funcție continuă pe intervalul. Să presupunem, de asemenea, că sarcina

regulat, atunci există doar soluția banală a problemei omogene.

teorema Editare

Apoi, există o soluție unică, care satisface sistem

care este dată de expresia

în cazul în care - funcția lui Green, care îndeplinește următoarele cerințe:

continuă cu și.
Pentru ,.
Pentru ,.
Sari derivatului :.
Simetric :.

Găsirea funcțiilor Green Editare

descompunerea Editare

În cazul în care multitudinea de vectori proprii ale operatorului diferențial (de exemplu, un set de funcții și scalar astfel încât) este completă, atunci putem construi funcție de vectorii proprii și autovalorile verde lui.

Sub plinătatea înseamnă punerea în aplicare a relației completitudinii pentru set:

Se poate arăta că

Într-adevăr, în calitate de operator, pentru această sumă, vom obține o funcție de delta (prin caracterul complet al relației).

Funcția lui Green pentru Laplace Edit

exemplu Editare

; .

Găsiți funcția lui Green.

Primul pas: Din a 2 condiții, vom vedea că

Pentru condițiile de la a treia, în timp ce, în același timp, pentru a rula.

Este necesar să se definească și.

Folosind a patra condiție, obținem:

Folosind regula lui Cramer sau pur și simplu ghicitul soluția, și descoperim că

Aceste expresii satisfac condiția 5.

Apoi, în funcție de problema lui Green:

Alte exemple Editare

Să se dea diversitatea și operatorul este. Apoi, funcția Heaviside este funcția Green pentru un timp.
Lăsați colectorul este dată de primul trimestru al anului plan - operatorul Laplace. De asemenea, să presupunem că se impun condițiile Dirichlet la - Neumann condiții la limită. Apoi, funcția Green are forma